完全平方数是什么

完全平方指用一个整数乘以自己例如1*1，2*2，3*3等，依此类推。若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。完全平方数是非负数，而一个完全平方数的项有两个。注意不要与完全平方式所混淆。

（1）个位数是2、3、7、8的整数一定不是完全平方数；

（2）个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；

（3）个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数；

（4）形如3n＋2型的整数一定不是完全平方数；

（5）形如4n＋2和4n＋3型的整数一定不是完全平方数；

（6）形如5n±2型的整数一定不是完全平方数；

（7）形如8n＋2，8n＋3，8n＋5，8n＋6，8n＋7型的整数一定不是完全平方数；

（8）数字和是2、3、5、6、8的整数一定不是完全平方数；

（9）四平方和定理：每个正整数均可表示为4个整数的平方和；

（10）完全平方数的因数个数一定是奇数。

（1986年第27届IMO试题） 设正整数d不等于2,5,13，求证在集合{2,5,13,d}中可以找到两个不同的元素a,b，使得ab -1不是完全平方数。解：显然2*5-1=9 2*13-1=25 5*13-1=64都为完全平方数假设2d-1为完全平方数,注意到d为正整数,2d-1为奇数 不妨设2d-1=(2n-1)^2 得 d=2n^2-2n+1此时5d-1=10n^2-10n+4不是完全平方数同理 假设5d-1 13d-1 为完全平方数 可以分d为奇偶去证明.

求k的最大值，使2010可以表示为k个连续正整数之和。解：假设这k个数为 a,a+1,a+2,...,a+(k-1)它们的和为 ka+k(k-1)/2=2010k(k+2a-1)=2*2010=2^2*5*3*67=60*67显然k最大只能是60,此时a=4