2022黄冈中考数学压轴题分析1：角平分线分线段成比例定理

本题选自2022年黄冈中考数学几何压轴题，以角平分线为背景，考查几何求值问题。这里面涉及了角平分线分线段成比例定理。这个比较经常用的一个性质，但是课本没有直接介绍，大家应该了解。

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角平分线分线段成比例定理

【题目】

（2022·黄冈）问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图2，过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明．

尝试证明：（1）请参照小慧提供的思路，利用图2证明：；

应用拓展：（2）如图3，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．①若，，求的长；②若，，求的长（用含，的式子表示）．

【分析】

（1）此题的证明方法很多，这里面利用了平行+角平分线→等腰进行证明，当然直接也可以利用角平分线的性质进行求解。

因为，，，，，，，，，．

根据角平分线的性质，得到两个高EF和EG相等，

△ABE的面积分别以AB、BE为底表示，

△ADE的面积分别以AD、DE为底表示。

因为高都相等，所以利用S△ABE/S△ADE=AB/AD=BE/EG面积比得到结论．

（2）

①因为AC=1，AB=2，那么可以得到BC=√5。

根据（1）中的性质，可以得到DC：DB=AC：AB=1:2。

那么就可以得到DE=DC=√5/3。

②本题换汤不换药，只是把具体的数字用未知数来表示而已。

因为∠AED=α，所以∠C=α，那么可以得到AB/AC=tan α。

那么DE/DB=DC/DB=AC/AB=1/tan α，

代入进去可以得到

DE=m/(1+tan α)。

【总结】

本题主要考查角的平分线分线段成比例定理，难度不大。题目设计也一般。但是这个结论比较好用。因此大家需要记住这个结论及其推导方法。

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