2022恩施中考数学压轴题分析：二次函数含参与直线的位置关系问题

本题选自2022年湖北恩施中考数学压轴题，题目以含参二次函数为背景，考查直角三角形的判定，相似三角形的存在性问题，以及抛物线平移产生的切线问题。属于近些年的热点问题，值得关注。

【题目】

（2022恩施州）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点．（1）直接写出抛物线的解析式．（2）如图，将抛物线向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为，平移后的抛物线与轴交于、两点（点在点的右侧），与轴交于点．判断以、、三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．（3）直线与抛物线交于、两点（点在点的右侧），请探究在轴上是否存在点，使得以、、三点为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（4）若将抛物线进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．

【分析】

（1）由于P（0，4），那么得到c=4，所以抛物线的解析式为y=-x+4。

（2）根据平移的规律，易得平移后的解析式为y=-(x+1)+4。

那么就可以得到点B（-3，0），C（0，3），以及Q（-1，4），分别求出BC、CQ和BQ的长，即可根据勾股定理的逆定理证明△BCQ为直角三角形。

（3）如图，连接AC，得到△ABC，可以发现三边分别为AB=4，AC=√10，BC=3√2。

由于点T在x轴上运动，可以发现∠TBC=∠ABC，那么就只有两种情况。

①当TN∥AC时，可以得到BC/BN=BA/BT，那么求出点N的坐标，进而得到BN的长，代入即可得到BT的值，进而得到点T的坐标。

易得直线BC的解析式为y=x+3。

联立解析式，得，解得，，所以，，，，那么可以得到。

进而得到点T的坐标为，。

②当TN与AC不平行时，可以得到BC/BT=BA/BN，一样的道理，代入数据，最终可以得到点T的坐标为，。

（4）本题需要将抛物线平移后与直线BC只有一个公共点，那么就是相切的时候。

相切就考虑联立解析式，得到一元二次方程的△为0，进而得到结论即可。

那么应该往什么方向平移才可以得到最小值呢？

根据垂线段最短，可以往与BC垂直的方向进行平移。

由于BC与x轴的夹角为45°，那么平移的方向与BC垂直。就可以得到向右平移与向下平移的距离是相等的。

设平移后的解析式为y=-(x-a)+4-a，那么与y=x+3联立，即可得到

-x+（2a-1）x-a-a+1=0，

△=（2a-1）+4（-a-a+1）=-8a+5=0，

解得a=5/8。

那么平移的最短距离为5√2/8，

平移后的解析式为y=-(x-5/8)+27/8。

此时抛物线的顶点坐标为（5/8，27/8）。

【总结】

相似三角形的存在性问题，主要是根据条件，分类讨论列方程求解。

与直线相切的问题，一般考虑联立解析式求解，根据方程思想进行解题。

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