2022鄂州中考数学压轴题分析4：瓜豆模型与几何最值问题

本题选自2022年湖北省鄂州市中考数学压轴题，考查特殊角有关的坐标问题，瓜豆模型等。问题比较多，有一定难度，不过还是比较典型常见的问题。需要好好研究。

【题目】

（2022鄂州）如图1，在平面直角坐标系中，的直角边在轴的正半轴上，且，斜边，点为线段上一动点．

（1）请直接写出点的坐标；（2）若动点满足，求此时点的坐标；（3）如图2，若点为线段的中点，连接，以为折痕，在平面内将折叠，点的对应点为，当时，求此时点的坐标；

（4）如图3，若为线段上一点，且，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得线段，连接，当取最小值时，请直接写出的最小值和此时线段扫过的面积．

【分析】

（1）根据勾股定理由OA与OB的长得AB的长，进而得到点B的坐标为（8，6）。

（2）遇到特殊角，一般都考虑构造特殊三角形。过点P作OP的垂线，交OB于点M，再过点M作AB的垂线。

则△OPM为等腰直角三角形，那么就可以得到△APO≌△NMP（ASA），可以得到AP=MN，OA=PN。

那么设AP=3x，则MN=3x，那么根据相似可以得到BN=4x，

所以可以得到AP+PN+BN=3x+6+4x=8，解得x=2/7，

那么就可以得到AP=3x=6/7。

点P的坐标也就出来了，就是（6/7，6）

【思路二】

当然，如下图方式构造也可以，设OM=PM=3y，那么就可以得到BM=4y，BP=5y。也可以得到结论。

（3）本题的关键在于PA′⊥OB，有了这个条件，就可以考虑相似和勾股、三角等知识。

如上图，设PH=3x，则BH=4x，BP=5x，进而在Rt△A′EH中，得到EH=5-4x，A′H=8-8x，A′E=5，根据勾股定理可以得到：

(5-4x)+(8-8x)=5，解得x1=1/2，x2=8/5（舍去），

8-5x=11/2。

那么就可以得到点P的坐标为（11/2，6）。

【思路二】

当然，根据相似会更简便一些。

由于A′E=AE=5，那么就可以得到HE=3，HA′=4，那么就可以得到BH=2，进而得到PB=5/2，所以可以得到AP=11/2。

（4）如图，连接PQ，再以AF为边在右侧构造等边三角形AFQ，进而可以得到一组手拉手的全等。

如上图所示，可以得到△AFP≌△QFG（SAS），那么就可以得到AP=QG，∠FQG=∠FAP=90°。由于∠AQF=60°，那么可以得到∠AQG始终为150°，也就是说点G始终在直线上运动。那么当OG与QG垂直时根据垂线段最短得到最小值。

那么可以发现，GQ的延长线与y轴始终交于定点R，可以得到△ARQ为等腰三角形，AR=AQ=AF=2，而且∠ARQ=30°，那么就可以得到OG的最小值为OG=1/2OR=4。

进而得到GR=4√3，那么可以算出RQ=GQ=2√3，此时可以得到AP=GQ=2√3，那么可以得到FP=4，由于FP扫过的图形就是一个扇形，那么就可以得到扫过图形的面积为16π/6=8π/3。

【思路二】

除了可以以AF为边构造等边三角形之外，还可以将FO绕点F逆时针旋转60°进行构造。

与上面的方法类似，可以得到一组手拉手的模型，得到△FOG≌△FO′P（SAS），那么求OG的最小值就转化为求O′P的最小值了，也就是当O′P与AB垂直时最小。由于FO′=FO=4，所以可以得到点O′ 的坐标为（2√3，2），那么可以得到O′P的最小值为4，此时AP=2√3，进而易得FP=4。

下面的动图可以展示点G的运动轨迹。

本题的解法是多样的，本质上还是利用特殊三角形的性质进行转化。

【总结】

遇到特殊角，就考虑构造特殊三角形。

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