空间共面向量定理和推论

一、空间共面向量定理和推论

1、共线向量定理

（1）定理：对空间任意两个向量$oldsymbol a$，$oldsymbol b(oldsymbol b$≠0)，$oldsymbol a∥oldsymbol b$的充要条件是存在实数$λ$，使$oldsymbol a=λoldsymbol b$。

（2）推论：如果$l$为经过已知点$A$且平行于已知非零向量$oldsymbol a$的直线，那么对空间任一点$O$，点$P$在直线$l$上的充要条件是存在实数$t$，使$overrightarrow{OP}=$$overrightarrow{OA}+$$toldsymbol a$ ①。其中向量$oldsymbol a$叫做直线$l$的方向向量。

在$l$上取$overrightarrow{AB}=oldsymbol a$，则①式可化为$overrightarrow{OP}=$$overrightarrow{OA}+$$toverrightarrow{AB}$或$overrightarrow{OP}=$$(1-t)overrightarrow{OA}+$$toverrightarrow{OB}$②。

当$t$=$ rac{1}{2}$时，点$P$是线段$AB$的中点，则$overrightarrow{OP}=$$ rac{1}{2}(overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB})$ ③。

①②式都叫做空间直线的向量表示，③式是线段$AB$的中点公式。

2、共面向量定理

（1）定理：如果两个向量$oldsymbol a$，$oldsymbol b$不共线，那么向量$oldsymbol p$与向量$oldsymbol a$，$oldsymbol b$共面的充要条件是存在唯一的有序实数对$(x,y)$，使$oldsymbol p=$$xoldsymbol a+$$yoldsymbol b$。

（2）推论1：空间一点$P$位于平面$MAB$内的充要条件是存在有序实数对$(x,y)$，使$overrightarrow{MP}=$$xoverrightarrow{MA}+$$yoverrightarrow{MB}$（或对空间一点$O$，有$overrightarrow{OP}=$$overrightarrow{OM}+$$xoverrightarrow{MA}+$$yoverrightarrow{MB}$）。

（3）推论2：空间一点$P$位于平面$MAB$内的充要条件是存在有序实数组${x,y,z}$，对空间任一点$O$，有$overrightarrow{OP}=$$xoverrightarrow{OA}+$$yoverrightarrow{OB}+$$zoverrightarrow{OM}$，其中$x+y+z=1$。

3、空间向量基本定理

（1）定理：如果三个向量$oldsymbol a$，$oldsymbol b$，$oldsymbol c$不共面，那么对空间任一向量$oldsymbol p$，存在有序实数组${x,y,z}$，使得$oldsymbol p=$$xoldsymbol a+$$yoldsymbol b+$$oldsymbol zc$。

其中${a,b,c}$叫做空间的一个基底，$oldsymbol a$，$oldsymbol b$，$oldsymbol c$都叫做基向量。

（2）推论：设$O$，$A$，$B$，$C$，是不共面的四点，则对空间任一点$P$，都存在唯一的有序实数组${x,y,z}$，使得$overrightarrow{OP}=$$xoverrightarrow{OA}+$$yoverrightarrow{OB}+$$zoverrightarrow{OC}$。

二、空间共面向量定理的相关例题

若$overrightarrow{OA}$、$overrightarrow{OB}$、$overrightarrow{OC}$是空间不共面的三个向量，则与向量$overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}$和向量$overrightarrow{OA}-overrightarrow{OB}$构成不共面的向量是___

A．$overrightarrow{BA}$ B．$overrightarrow{OA}$ C．$overrightarrow{OB}$ D．$overrightarrow{OC}$

答案：D

解析：由题意可知向量$overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}$和向量$overrightarrow{OA}-overrightarrow{OB}$是平面$AOB$内的向量，而$overrightarrow{OA}$、$overrightarrow{OB}$、$overrightarrow{BA}$都在平面$AOB$内，显然是共面向量，只有$overrightarrow{OC}$与向量$overrightarrow{OA}+$$overrightarrow{OB}$和向量$overrightarrow{OA}-$$overrightarrow{OB}$构成不共面的向量。故选D。