点面距离的定义和空间中的中点坐标公式

一、点面距离的定义和空间中的中点坐标公式

1、点面距离表示空间内一点到平面内一点的最小长度。特殊的，当点在平面内时，该点到平面的距离为0。

2、若平面方程为$Ax+By+Cz+D=0$，点$P$的坐标为$(x_0,y_0,z_0)$，则点$P$到平面的距离为$ rac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{sqrt{A^2+B^2+C^2}}$。

3、空间中的中点坐标公式

在空间直角坐标系中若$A(x_1,y_1,z_1)$，$B(x_2,y_2,z_2)$，$P$为$AB$的中点，则点$P$的坐标为$left( rac{x_1+x_2}{2}, rac{y_1+y_2}{2}, rac{z_1+z_2}{2}ight)$。

4、空间中的夹角公式

设非零向量$oldsymbol a=(a_1,a_2,a_3)$，$oldsymbol b=(b_1,b_2,b_3)$，则$cos〈oldsymbol a,oldsymbol b〉=$$ rac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{sqrt{a^2_1+a^2_2+a^2_3}sqrt{b^2_1+b^2_2+b^2_3}}$。

5、空间中点的距离公式

在空间直角坐标系中，已知$A(x_1,y_1,z_1)$，$B(x_2,y_2,z_2)$，则$|overrightarrow{AB}|=$$sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$。

二、点面距离的相关例题

已知平面$α,β,γ$两两互相垂直，点$A∈α$ ，点$A$到$β$ ，$γ$的距离都是3 ，点$P$是$α$上的动点，满足$P$到$β$的距离是$P$到点$A$距离的2倍，则点$P$的轨迹上的点到$γ$的距离的最小值是___

A．$3-sqrt{3}$

B．$3-2sqrt{3}$

C．$6-sqrt{3}$

D．$sqrt{3}$

答案：A

解析：由题可知，设$P(x,y)$，点$P$的轨迹方程为$x=$$2sqrt{(x-3)^2+(y-3)^2}$，于是$x^2=4(x-3)^2+4(y-3)^2$，$(y-3)^2=$$ rac{1}{4}[x^2 -4(x-3)^2]=$$- rac{3}{4}x^2+6x-9$，当$x=4$时，最大值为3 ，因为$(y-3)^2=3$，所以$y=3+sqrt{3}$或$y=3-sqrt{3}$，即点$P$的轨迹上的点到$γ$的距离的最小值是$3-sqrt{3}$。