求矩阵的迹要化成上三角吗
高校大全
2022/1/17
不需要。对矩阵进行初等变换时，特征值也发生了变化，所以化出来的上三角矩阵的特征值一般不是原矩阵的特征值。在线性代数中，一个n×n矩阵A的主对角线（从左上方至右下方的对角线）上各个元素的总和被称为矩阵A的迹（或迹数），一般记作tr(A)。
求证上三角正规矩阵一定是对角阵因为阶梯型矩阵的每行的第一个非零元的列号应该是依次递增的。
0 1 0
0 2 0
0 0 1
是上三角矩阵，但不是阶梯型矩阵，因为前两行的非零元的列号都为2
0 0 0
0 1 0
0 0 2
是对角矩阵，但零行在上面的确不一定是
矩阵的迹性质1.迹是所有主对角元素的和
2.迹是所有特征值的和
3.某些时候也利用tr(AB)=tr(BA)来求迹
4.tr（mA+nB）=m tr（A）+n tr（B）
(2)奇异值分解（Singular value decomposition ）
奇异值分解非常有用，对于矩阵A(p*q)，存在U(p*p)，V(q*q)，B(p*q)（由对角阵与增广行或列组成），满足A = U*B*V
U和V中分别是A的奇异向量，而B是A的奇异值。AA'的特征向量组成U，特征值组成B'B，A'A的特征向量组成V，特征值（与AA'相同）组成BB'。因此，奇异值分解和特征值问题紧密联系。
如果A是复矩阵，B中的奇异值仍然是实数。
SVD提供了一些关于A的信息，例如非零奇异值的数目（B的阶数）和A的阶数相同，一旦阶数确定，那么U的前k列构成了A的列向量空间的正交基。
(3)在数值分析中，由于数值计算误差，测量误差，噪声以及病态矩阵，零奇异值通常显示为很小的数目。
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