三角函数公式推导过程

三角函数是数学中一种常见的关于角度的函数，对于很多同学来说有点难度，下面小编整理了三角函数公式推导过程，希望对大家有所帮助！

万能公式推导

sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/[cos2(α)+sin2(α)]，

(因为cos2(α)+sin2(α)=1)

再把分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/[1+tan2(α)]

然后用α/2代替α即可。

同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

和差化积公式推导过程

首先,我们知道sin(a+b)=sinacosb+cosasinb，sin(a-b)=sinacosb-cosasinb我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb

同理，若把两式相减，就得到cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2

同样的，我们还知道cos(a+b)=cosacosb-sinasinb，cos(a-b)=cosacosb+sinasinb

所以，把两式相加，我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb

同理，两式相减我们就得到sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2

这样，我们就得到了积化和差的公式：

cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2

sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2

有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化积的四个公式

我们把上述四个公式中的a+b设为x，a-b设为y，那么a=(x+y)/2，b=(x-y)/2

把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:

sinx+siny=2sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]

sinx-siny=2cos[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]

cosx+cosy=2cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]cosx-cosy=-2sin[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]

三倍角公式推导

tan3α=sin3α/cos3α

=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

=[2sinαcos2(α)+cos2(α)sinα-sin3(α)]/[cos3(α)-cosαsin2(α)-2sin2(α)cosα]

上下同除以cos3(α)，得：

tan3α=[3tanα-tan3(α)]/[1-3tan2(α)]

sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα

=2sinαcos2(α)+[1-2sin2(α)]sinα=2sinα-2sin3(α)+sinα-2sin3(α)

=3sinα-4sin3(α)

cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα

=[2cos2(α)-1]cosα-2cosαsin2(α)

=2cos3(α)-cosα+[2cosα-2cos3(α)]

=4cos3(α)-3cosα

即：

sin3α=3sinα-4sin3(α)

cos3α=4cos3(α)-3cosα

n倍角三角函数公式的推导

利用欧拉公式推导

事实上，对于任意n倍角三角函数公式还可以由欧拉公式推导：

cosnA+isinnA=einA=e（iA）n=（cosA+isinA）n

分别由左右两边实部和虚部相等，可以推导出n倍角余弦和正弦三角函数公式。以三倍角余弦公式为例，cos3A=C（30）cos3A-C（32）sin2AcosA=cos3A-3sin2AcosA=4cos3A-3cosA

其余的任意n倍角三角函数公式（包括正弦、余弦、正切）则都可以由二项式定理相应地写出来。