知识归纳 | 数学：二次函数知识点梳理汇总

一、定义与定义表达式

1.定义

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），则称y为x的二次函数。

2.定义表达式中的一些性质

0时，开口方向向上；a<0时，开口方向向下。a的绝对值决定开口大小，a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。

二、二次函数的三种表达式

1.一般式：y=ax+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）

2.顶点式：y=a(x-h)+k

此式中抛物线的顶点为P（h，k）

3.交点式：y=a(x-x)(x-x)

此式需要抛物线与x轴有交点，两个交点分别为A（x，0）和B（x，0）；特殊的，当抛物线与x轴只有一个交点时A点与B点重合，x=x

4.三种形式互相转化

在3种形式的互相转化中，有如下关系：

（1）h=-

（2）k=

（3）x,x=

三、二次函数的图象

依次取点，先列出表格，再在坐标系上描点，最后用平滑的曲线连接，可以发现，二次函数的图象是一条抛物线。

1.列表

2.描点

3.连线

四、抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形

对称轴为直线x=-，对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）。

2.抛物线顶点位置

设顶点为P，坐标为：P（-，）。当-=0时，P在y轴上；当Δ=b-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小

当a＞0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右侧。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点

抛物线与y轴交于（0，c）。

6.抛物线与x轴交点个数

0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ=b-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ=b-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点，x的取值没有实数。

五、二次函数与一元二次方程

在二次函数（以下称函数）y=ax+bx+c中，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax+bx+c=0。此时，函数图象与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

1.二次函数y=ax，y=a(x-h)，y=a(x-h)+k，y=ax+bx+c（各式中，a≠0）的图象形状相同，只是位置不同。

它们的顶点坐标及对称轴如下表：

解析式	顶点坐标	对称轴
y=ax	（0，0）	x=0
y=a(x-h)	（h，0）	x=h
y=a(x-h)+k	（h，k）	x=h
y=ax+bx+c	（-，）	x=-

0时，y=a(x-h)的图象可由抛物线y=ax向右平行移动h个单位得到。

（2）当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到。

0时，将抛物线y=ax向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)+k的图象。

0，k<0时，将抛物线y=ax向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)+k的图象。

（5）当h<0，k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)+k的图象。

（6）当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)+k的图象。

因此，研究抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了，这给画图象提供了方便。

2.抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的图象

0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是（-，）。

3.抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的单调性

0，当x≤-时，y随x的增大而减小；当x≥-时，y随x的增大而增大。

（2）若a<0，当x≤-时，y随x的增大而增大；当x≥-时，y随x的增大而减小。

4.抛物线y=ax+bx+c的图象与坐标轴的交点

（1）图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）；

0，图象与x轴交于两点A（x，0）和B（x，0），其中的x，x是一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的两根．这两点间的距离AB=|x-x|。

（3）当△=0，图象与x轴只有一个交点；当△<0，图象与x轴没有交点；当△>0，a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当△>0，a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0。

5.抛物线y=ax+bx+c的最值

0，则当x=-时，y最小值=。

如果a<0，则当x=-时，y最大值=。

顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值。

六、用待定系数法求二次函数的解析式

1.当题给的条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax+bx+c（a≠0）。

2.当题给的条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)+k（a≠0）。

3.当题给的条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x)(x-x)（a≠0）。

七、二次函数考点

二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现。

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