2022牡丹江中考数学压轴题分析1：等腰直角三角形半角模型

本题选自2022黑龙江省牡丹江市中考数学填空压轴题。题目以两个共顶点的等腰直角三角形为背景，考查几何关系及求值问题。题目模型比较典型，值得好好看一下。

【题目】

（2022牡丹江）如图，在等腰直角三角形和等腰直角三角形中，，点在边上，与相交于点，，垂足是，交于点．下列结论中：①；②；③若，，则；④，正确的是 ．

【答案】②③。

【分析】

①点D为BC上任意一点，所以无法确定AC=CD。故错误

②本题的结论可以试着转化一下，由于BC=√2AC，那么代入进去可以得到结论为AD=AC·AF，那么明显就是一个相似的结论。我们可以找到对应边所在的三角形，再进行证明。

如上图，可以得到∠ADF=∠C=45°，那么就可以得到△ADF∽△ACD，

则AD/AC=AF/AD，即AD=AC·AF，那么就可以证明原结论正确。

③本结论中，仍然有3条线段，AD与DH和DC，那么可以观察图中，发现还有一组三角形相似，也就是△ADH∽△CDA，那么就可以得到AD/CD=HD/AD，则AD=HD·CD，由于已知AD=3√5，DH=5，那么就可以得到DC=9，则此时CH=CD-DH=4。

如图易得△ABD≌△ACE（SAS），那么就可以得到BD=CE。由于AD已知，所以可以得到DE=√2AD=3√10。

进而在Rt△CDE中，根据勾股定理可以得到BD=CE=3。结论成立。

④本题仍然可以考虑相似，若以AH为边，可以考虑下面的一组三角形相似。

如图，根据∠DAH=∠B，可以得到△ADH∽△BAH，那么就可以根据比例关系得到AH=DH·BH，而AC与BH的关系未知，所以无法确定结论成立。所以本结论错误。

【总结】

本题纯粹考查等腰直角三角形的性质，以及相似三角形的判定与性质等。题目图形比较典型，值得大家研究。

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