2022鸡西中考数学压轴题分析：两定一动型等腰三角形存在性问题

本题选自2022年鸡西朝鲜族中考数学压轴题，与上一篇龙东地区的题目几乎雷同，只是稍作改编而已。具体请看！

【题目】

（2022·黑龙江）如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x-14x+48=0的两个实数根．

（1）求C点坐标；

（2）求直线MN的解析式；

（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．

【分析】

（1）解一元二次方程x-14x+48=0，

得x1=6，x2=8，

根据条件可以得到OA=8，OC=6，那么点C的坐标为（0，6）。

（2）直线MN就是直线AC，那么只需要知道点A与点C的坐标即可。

根据（1）可以得到A（8，0），C（0，6）。

那么根据待定系数法，可以得到直线AC的解析式为y=-3/4x+6。

（3）点B，C为定点，点P在直线MN上运动，这就是典型的两定一动型等腰三角形存在性问题。

如上图，画出两圆一线模型，可以确定点P的位置。

①最简单，最先确定的是BC垂直平分线上的点，可以发现此时点P为AC的中点，那么点P的坐标为（4，3）。

②当PC=PB时，有两个点，那么此时我们只需往BC作垂线即可。如下图所示。

如图，PC=8，tan∠ACB=3/4，那么就可以得到PH=24/5，CH=32/5。此时可以得到点P的纵坐标为6/5，那么点P的坐标为（32/5，6/5）。

同理可得，图中P2的坐标为（-32/5，54/5）。

③当PB=BC时，可以得到PB=6，那么点B在PC的垂直平分线上，过点B作BQ⊥MN如下图所示。

因为BC=8，那么可以得到BQ=24/5，CQ=32/5。进而过点Q作BC的垂线，可以得到点Q的坐标为（128/25，96/25）。那么根据相似可以得到点P的坐标为（256/25，-42/25）。

当然，本题还可以用代数法求解，直接设点P的坐标，然后利用边长关系建立方程，直接求解即可。

【思路二】

②当时，，

解得，，则，，，；③当时，，解得，，则，，．

【总结】

本题与上一篇龙东地区的题目几乎类似，只是简单改了条件。希望同学们学会举一反三！

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