2022大庆中考数学压轴题分析1：正方形半角模型

本题选自2022年黑龙江大庆的中考数学填空压轴题。以正方形为背景，比较综合，难度中等。是一道典型的正方形综合题，值得研究。

【题目】

（2022·大庆）如图，正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的两个动点，且正方形ABCD的周长是△BEF周长的2倍．连接DE，DF分别与对角线AC交于点M，N，给出如下几个结论：①若AE＝2，CF＝3，则EF＝4；②∠EFN+∠EMN＝180°；③若AM＝2，CN＝3，则MN＝4；④若MN/AM＝2，BE＝3，则EF＝4．其中正确结论的序号为 ．

【答案】②

【分析】

本题难度其实不算大，但是正确的结论太少，所以容易自我怀疑，导致错误。

本题的关键条件是正方形ABCD的周长为△BEF周长的2倍。其实翻译过来的意思是△BEF的周长等于AB与BC的和，也就是说

BE+EF+BF=BE+AE+CF+BF，那么就可以得到EF=AE+CF，这就是典型的正方形半角模型的结论。有了上面的线段数量关系，可以得到∠EDF=45°，也就是说∠EDF=1/2∠ADC，也就是大家说的半角模型。证明的方法比较简单，而且常见，就是旋转或者截长补短的方式。具体如下图所示：

如上图，EF=AE+CF，延长BA至点F′，是的AF′=CF，那么就可以得到两个△ADF′≌△CDF（SAS），进而再证明△DEF′≌△DEF（SAS），那么就可以得到结论，也就是说∠EDF=∠EDF′=45°。而且还可以得到∠DEF=∠DEF′，∠DFE=∠DFC等。

①由上面的分析可以得到，若AE＝2，CF＝3，则EF＝5，题目结论错误。

②如下图所示，可以发现这里面有较多的45°角，那么就可以得到∠DMN=∠CFN，进而得到∠DFE=∠CFN=∠DMN，那么就可以得到∠EFN+∠EMN=180°，也就说说点E、F、N、M四点共圆。

③本结论也是比较常见的问题，其实是由等腰直角三角形的半角模型得到的。也就是可以得到AM+CN=MN，证明方法也是用旋转等。如下图所示：

如上图，将△ADM绕点D逆时针旋转90°至△CDM′，进而证明△DMN≌△DM′N（SAS），再得到MN=M′N，AM=CM′，△CM′N为直角三角形，所以就可以得到结论了。

根据勾股定理，若AM＝2，CN＝3，则MN＝√13，与结论矛盾，故错误。

④本结论可以在③的基础上面进行判断。若MN/AM＝2，那么可以得到△CM′N为含30°角的三角形，可以得到∠CNM′=30°，进而得到∠DNM=∠DNM′=75°，那么就可以得到∠DEF=∠DEA=75°，进而得到∠BEF=30°，此时若BE＝3，则根据三角函数等，可以得到BF=√3，那么EF=2√3。与结论矛盾。

综上所述，可以得到正确的结论只有②一个。

【总结】

正方形含半角模型，常常考虑用旋转等方式做辅助线。此类问题是比较常规典型的问题，也是老套路了。

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