2022海南中考数学压轴题分析1：折叠与最短路径问题

本题选自2022年海南省中考数学几何压轴题，以矩形为背景，考查折叠产生的最短路径问题，以及中点有关的线段数量关系等。本题图形设计比较巧妙，值得学习。

【题目】

（2022海南）如图1，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P在边BC上，且不与点B、C重合，直线AP与DC的延长线交于点E．

（1）当点P是BC的中点时，求证：△ABP≌△ECP；

（2）将△APB沿直线AP折叠得到△APB'，点B'落在矩形ABCD的内部，延长PB'交直线AD于点F．

①证明FA=FP，并求出在（1）条件下AF的值；

②连接B'C，求△PCB'周长的最小值；

③如图2，BB'交AE于点H，点G是AE的中点，当∠EAB'=2∠AEB'时，请判断AB与HG的数量关系，并说明理由．

【分析】

（1）当点P为中点时，根据AAS或者ASA易得△ABP≌△ECP。

（2）①证明两条线段FA与FP相等，可以考虑证明角相等。本题主要是从折叠产生的角度关系进行转化。

根据翻折与平行，可以得到∠DAP=∠APB=∠APF，则FA=FP。

②在△PCB′中，有两个动点与一个定点，所有的边长都是变化的，不容易求最值。它的周长为PB′+PC+B′C，通过观察发现，可以利用折叠进行转化。因为PB′=PB，那么可以得到PB′+PC始终等于PB+PC，那么就是BC的长了。所以其实就是求B′C的最值即可。

如上图所示，点B′ 的轨迹为以A为圆心AB为半径的圆弧上运动，而

B′C≥AC-AB′，当且仅当点B′在AC上时取最小值。

那么就可以得到此时△PCB′的周长最小值了。

也就是BC的长，加上AC-AB的长，为8+10-6=12。

③本题的关键点在于角度的2倍关系。由于∠EAB'=2∠AEB'，那么可以考虑构造一个2倍角。

如上图，在AE上取一点M，是的∠MB′E=∠MEB′，那么就可以得到MB′=ME，且∠AMB′=2∠AEB′=∠EAB′，

那么就可以继续得到AB′=MB′=ME。

由于BB′被AE垂直平分，那么就可以得到点H为AM的中点。

又因为点G为AE的中点。

所以可以得到HG为ME的一半，也就是AB′的一半，那么当然就是AB的一半了。

本小题主要是利用等腰三角形的性质进行推导，难度不大。不能想的太复杂了。

【总结】

折叠能得到的就是图形的全等，进而得到边与角的等量关系，进行转化结论。

更多精彩内容请看《中考数学压轴题全解析》！

有兴趣讨论数学学习的同学可以考虑加入以下的QQ群！

2023中考数学学习讨论群：963392512