2022重庆中考数学压轴题分析4：瓜豆模型与几何最值问题

本题内容选自2022年重庆中考数学（B卷）的压轴题，以等腰直角三角形为背景。题目分为三问，考查的内容较多，题目综合。

第（2）问涉及截长补短的构造，而第（3）问就是考查动点轨迹与几何最值的问题，颇有一定难度，值得大家研究。

【题目】

在中，，，为的中点，，分别为，上任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．

（1）如图1，点与点重合，且的延长线过点，若点为的中点，连接，求的长；

（2）如图2，的延长线交于点，点在上，且，求证：；

（3）如图3，为线段上一动点，为的中点，连接，为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到△，连接，直接写出线段的长度的最小值．

【分析】

（1）要求PD的长，那么就需要考虑构造直角三角形。

本题比较特殊的地方在于点P为FG的中点，那么可以考虑等腰直角三角形与斜边中点有关的辅助线。连接EP，可以得到EP为FG的一半，且与FG垂直。

进一步可以发现PD为直角三角形BCP的斜边中线，它的长度为BC的一半。由于AB的长为2√2，那么BC=4，也就是说PD=2。

本小题主要是利用了直角三角形与等腰直角三角形的特殊性质进行求解。

（2）题目的结论比较特殊，要证明的是AM+AF=√2AE。

从结论出发，肯定需要考虑进行截长补短，而且也需要构造以AE为腰的等腰直角三角形，再进行证明。

如图，过点E作EQ⊥AC，交AD的延长线于点Q，此时可以得到△AEQ为等腰直角三角形，AF+FQ=AQ=√2AE。那么只需要证明EQ=AM即可。

仔细观察图形，发现△AEQ与△GEF为一组手拉手的等腰直角三角形，那么就可以得到△EFQ与△EGA全等了，也就是说EQ=GA，那么如果进而能证明AM与AG相等即可。

AG在△AGN中，而AM在△AMF中，似乎两个三角形也有全等的可能。

如上图，根据全等以及AB∥EQ，可以得到∠AGN=∠AEG=∠QEF=∠AMF，

而∠BAC=∠FAG=90°，所以可以得到∠MAF=∠GAN，

且题目已知MF=GN，那么就可以根据AAS证明全等，

即△AMF≌△AGN（AAS），

那么就可以得到AM=AG=FQ，

那么结论就出来了，也就是

AM+AF=√2AE。

当然，直接延长AG至点Q，是的EQ=AF，也可以得到相应的结论。

如上图所示，过点E作AD的垂线，交AB于点R，过点F作FQ∥AB，交ER于点Q。连接AQ、FR、FQ。

可以发现四边形AFQR为等腰梯形，可以得到很多边角等量关系。

此时可以得到AF=RQ，AQ=FR=FE=GE，

且∠QAF=∠QRF=∠QEF，那么就可以得到∠AQR=90°＋∠QAF=90°＋∠QEF=∠QEG，

可以得到AQ∥GE，

那么就可以得到四边形AQEG为平行四边形，

此时可以得到QE=AG，再根据全等可以得到QE=AG=AM，结论依然可得。

所以本题的解法也是多样的，关键是如何进行截长补短。

（3）由于△EFG为等腰直角三角形，那么可以得到∠EGF=∠EAF=45°，易得点A、F、E、G四点共圆，那么就可以得到∠GAF=∠GEF=90°，也就是说点G再AD过点A的垂线上运动。也就是大家常说的瓜豆模型。

因为点B、E为定点，那么可以得到B′E=BE，所以点B′的轨迹为以E为圆心，BE为半径的圆上运动。那么就可以确定点B′的位置了。

由于B′G≥B′E-EG，当且仅当点E、G、B′三点共线时取到最小值。

而B′E为定值，但是EG却是变化的，所以要使得结果最小，必须使得EG最大。

观察图形可以发现当点F与D或者A重合时，EG最大，最大值为√2。

而B′E=BE=√10。

所以可以得到B′G的最小值为√10﹣√2。如下图所示。

【总结】

本题又是一道瓜豆与动点轨迹有关的问题，本题与A卷中的题目有类似的地方，但也有区别，都是比较综合性的题目，问法也比较典型，值得大家去关注与学习。

搞定此类问题，基本上不用太担心压轴题了。