2022重庆中考数学压轴题分析1：平行四边形的存在性问题

本文内容选自2022年重庆中考数学（A卷）倒数第2题，属于函数压轴题。与前两年的题目差不多，有点套路化，难度也明显比以往降低了。

中考数学压轴题分析：面积最大值问题与平行四边形的存在性问题

中考数学压轴题分析：函数平移与平行四边形的存在性问题

【题目】

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与直线 交于点 ，．

（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点 是直线 下方抛物线上的一动点，过点 作 轴的平行线交 于点 ，过点 作 轴的平行线交 轴于点 ，求 的最大值及此时点 的坐标；（3）在（2）中 取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移 5 个单位，点 为点 的对应点，平移后的抛物线与 轴交于点 ， 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点 ，使得以点 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点 的坐标，并写出求解点 的坐标的其中一种情况的过程．

【分析】

（1）求函数解析式为最基础的问题。把给定的两个点坐标，代入函数解析式，即可得到与的值。

所以抛物线的函数表达式为。

（2）题中要确定PC+PD的最大值。此类问题最早可以在2015年福州中考数学压轴题中出现，以往也出现较多。

中考数学压轴题分析：线段和最大值问题

中考数学压轴题分析：线段和最大值问题

本题直接设直线AB的解析式，求出直线AB的解析式为y=x-4。

然后再设点P的坐标，分别表示出PC与PD的长，然后再配方求解即可。难度不大。

设，则。在直线AB的解析式中，当时，，，。。。当时，取最大值。求出此时点的坐标为，。

（3）本小题是压轴一问，略有难度。关键是读懂题意画出图形进行分析。

将抛物线向左平移5个单位，得到函数的解析式为：

。

如图，点E、F、M、N的位置大致如上。

点E为点P的对应点，那么坐标为（-7/2，-35/8）。

点F为抛物线与y轴的交点，坐标为（0，7/2）。

点M在抛物线的对称轴上，所以设点M的坐标为（-4，m）。

点N在抛物线上，那么设点N的坐标为（n，1/2n+4n+7/2）。

平行四边形的存在性问题有较多的解法，比如中点坐标公式，或平移等。

一般用中点坐标建立等量关系比较直接。

虽然中点坐标公式为高中数学的内容，但是一般都是直接使用。

需要进行分类讨论：

①四边形EFNM为平行四边形，此时E、N为对角线的顶点，F、M为对角线的顶点。那么就可以根据中点坐标公式得到等量关系：

-7/2+n=0+(-4)，

-35/8+(1/2n+4n+7/2)=7/2+m。

解得n=1/2，代入求出点N的坐标为（-1/2,13/8）。

②四边形EFMN为平行四边形时，此时E、M为对角线的顶点，F、N为对角线的顶点。依然可以得到一组等量关系，那么可以求得点N的坐标为（-15/2,13/8）。

③四边形EMFN为平行四边形，此时E、F为对角线的顶点，M、N为对角线的顶点。此时求得点N的坐标为（1/2,45/8）。

所以总共三种情况。

【总结】

平行四边形存在性的问题有多种方法可以求解，主要是根据题目的条件进行分类讨论，设点坐标建立等量关系。

方法介绍可以点击下面这篇文章：

平行四边形存在问题的坐标求法

中点坐标公式如下（《中考数学压轴题全解析》P203页）：