2022福建中考数学压轴题分析2：二次函数面积比的最值问题

本题是与二次函数有关的面积问题，特别是第（3）问，求面积比和的最大值，最终通过转化为线段的比来求。这是近两年以来出现的比较多的问题。一般就是考查两个共边三角形面积的比的最值，利用A字型或者X字型的相似转化为求线段的最值。

本题的难度明显比以往几年福建省中考数学的压轴题的难度降了不少。

【题目】

在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点．是抛物线上一点，且在直线的上方．

（1）求抛物线的解析式；（2）若面积是面积的2倍，求点的坐标；（3）如图，交于点，交于点．记，，的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

【分析】

（1）本题考查待定系数法，把点A和B的坐标代入抛物线的解析式即可。

依题意，得

，解得。抛物线的解析式为。

（2）三角形OAB与三角形PAB具有公共边，如果△OAB的面积是△PAB面积的2倍，那么以AB为底的高，也具有倍半关系。

本题可以考虑的思路有比较多，最直接的莫过于分别表示出两个三角形的面积，建立等量关系即可。

当然，另一方面，根据面积比可以转化为求高的比，进而可以转化为线段PC与OC的长度之比，再适当转化一下，就可以求出点P的坐标了。

下面对第二种方法进行介绍。

先过点P作x轴的垂线，垂足为F，PF与AB交于点E。延长AB与y轴交于点G。再分别过点P、O作AB的垂线，垂足分别为M、N。

设AB的解析式，代入点坐标可以得到AB的解析式为：

。

设点的坐标为，则，．

因为△OAB的面积为△PAB面积的2倍，则ON=2PM，再根据△OCN∽△PCM，可以得到OC=2PC。然后根据△OGC∽△PEC，可以得到OC=2PE。

由直线AB的解析式可以得到点G的纵坐标为16/3，那么PE的长就是8/3。

然后根据PN=8/3，建立等量关系，解方程即可。

，解得，。所以点的坐标为或。

接下来从另外的思路出发，取OA的中点M（2，0），连接BM，再过点B作OA的平行线与抛物线交于点P，过点P作AB的平行线交抛物线点P′。

可以发现△ABM的面积是△OAB面积的一半。而四边形AMBP为平行四边形，所以此时△PAM的面积等于△ABM的面积，也就是△OAB面积的一半。此时的点P满足要求，坐标为（3，4）。那么再求点P′的坐标即可。

因为直线AB的解析式为，那么就可以设直线的解析式为，代入点的坐标求出直线的解析式为。再与抛物线的解析式联立，即可求出点的坐标。，解得，。所以点。

求出来的结果也上一种方法是类似的。

（3）如图，标记三个三角形的面积在图中，题目要求S1/S2+S2/S3的最大值。根据面积公式可以转化为CD/BC+PC/OC的最大值。

又因为PD与OB平行，所以可以得到CD/BC=PC/OC，那么其实就是求PC/OC的2倍的最大值。根据相似即可求得结论。

由（2）的结论得PC/OC=PE/OG，而OC为定值，当PE最大的时候即可得到结论。

。

所以可以得到当点P的横坐标为5/2时，最大值为9/8。

【总结】

两个共边三角形的面积比常转化为线段的比。

如上图，两个共边三角形△ABD与△ACD，它们的面积比等于BD与CD的比。

共边定理

共角定理

共高定理

针对线段的比例问题与面积的比例问题，专门有一节的内容进行介绍，具体请看《中考数学压轴题全解析·解答题》P323页的12.4比例问题。