2022福建中考数学压轴题分析2:三角形的旋转

本题选自2022年福建省中考数学倒数第2题,属于几何压轴题,难度并不大,但是也是比较综合的题目,适合练练手。


【题目】

已知,,BC" data-formula-type="inline-equation" >.(1)如图1,平分,求证:四边形是菱形;

中考数学压轴题

(2)如图2,将(1)中的绕点逆时针旋转(旋转角小于,,的延长线相交于点,用等式表示与之间的数量关系,并证明;

中考数学压轴题

(3)如图3,将(1)中的绕点顺时针旋转(旋转角小于,若,求的度数.

中考数学压轴题


【分析】

(1)一般第一小题都比较简单。

中考数学压轴题

如图,根据已知条件,把相关的线段与角度的关系标记上去。

由于∠ABC=∠ACB=∠DCB,那么就可以得到AB∥CD。

又因为AB=CD,所以四边形ABDC为平行四边形。

而且AB与AC这个邻边相等,那么就可以得到四边形ABDC为菱形,结论就出来了。

中考数学压轴题

(2)本题的求的结论发生了变化。分别延长BC与DE,使得他们交于点F,要求的是两个角直角的关系,即∠ACE与∠EFC的关系。

中考数学压轴题

如上图所示,一个是钝角,另一个是锐角,可以猜测他们的和为180°,也就是说他们会互补。

那么本题只需要进行适当的转化就可以了,求出他们的和。

因为∠ACB=∠DEC,所以可以得到∠ACF=∠CEF。

那么就可以得到:

∠ACE+∠F=∠ACF+∠ECF+∠F

=∠CEF+∠ECF+∠F

=180°。

根据三角形的内角和定理就可以得到结论了。


(3)本题又发生变化了,条件变成∠BAD=∠BCD了,求的是∠ADB的度数。

中考数学压轴题

题目中并没有给出任意的角度,而且△ABC只是普通的等腰三角形,并没有确定的形状。

经过分析,题目中只有大量的边的关系以及角的关系,因此可以适当考虑通过引入未知数进行表示,建立等量关系进行求解。

中考数学压轴题

但是通过转化,似乎看不出什么特别的关系。而且∠BAD=∠BCD的关系也无法直接使用。

中考数学压轴题

在AD上截取AH=BC,根据SAS,可以得到△ABH≌△CDB(SAS),

进而得到∠ABH=∠CDB=y,BH=BD。

那么就可以得到∠BDH=∠BHD=x+y。

中考数学压轴题

此时仍然无法得到一个等量关系,观察图形可以发现AC=CD,那么就可以得到∠CAD=∠CDA,那么就可以进一步得到其它角的关系了。

中考数学压轴题

在△ACD中,根据三角形的内角和定理可以得到:

(x+2y)+(x+2y)+(90°-y+x)=180°,

3x+3y=90°,

x+y=30°,

则∠ADB=x+y=30°,结论出来了。


【总结】

本题主要考查全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,以及三角形的内角和等知识。题目比较综合,但是难度比较小,仍然是双减政策下的一道好题。

2022福建中考数学压轴题分析2:三角形的旋转

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