征解问题答案详解

昨天发布的问题，收到了好几个朋友的回复，以下进行展示。

【题目】

如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠BDC，∠ADB=∠MDC，

求证：BM=CM．

【分析】

证明中点，而△ABC又是等腰三角形，所以想证明AM与BC垂直，或者AM平分∠BAC。但是这个思路都不好下手。

遇到等腰，优先想到的是进行旋转，那么本题确实可以考虑通过构造旋转辅助线进行证明。

而本题中相等的角比较多，要证明的结果是线段相等，容易想到相似等。

其实本题的图还是比较特殊的。

如图，△BDC的外接圆圆心为O，可以发现AB与AC为⊙O的切线。而△ABC的外接圆经过点O。

【解法一】

如图，在BD上取一点P使得，MP=MB，在CD上取一点Q，使得MQ=MC。

因为MP=MP，所以可以得到∠MBP=∠MPB，那么可以得到

∠MPD=180°﹣∠MPB＝180°﹣MBP=∠BDC+∠BCD=∠BCD+∠ACB=∠ACD，

已知∠ADB=∠MDC，则∠MDP=∠ADC。

那么可以得到△DMP∽△DAC，则MP/AC=DM/DA。

同理，可以得到△DMQ∽△DAB，则MQ/AB=DM/DA。

所以可以得到MB=MP=MQ=MC。

【解法二】@朱*霖 同学提供

如下图所示，往两边分别延长BC，使得∠FDB=∠MDB，∠NDC=∠MDC，

那么根据角平分线分线段成比例，可以得到：

MD/MB=PD/PB，

MD/MC=ND/NC。

而∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠BDC+∠DBC=∠NCD，

且∠NDC=∠MDC=∠ADB，

所以可以得到△ABD∽△NCD，那么就可以得到

ND/NC=AD/AB，

同理可得△ACD∽△PBD，

得到PD/PB=AD/AC，

因为AB=AC，可以得到ND/NC=PD/PB，

进而得到MD/MB=MD/MC，则MB=MC。

【解法三】@王*白 同学

如图，将△ABD绕点A旋转至△ACP，连接DP，在DP上取一点N，使得CN=CM。

根据旋转，可以得到AB/AD=AC/AP，且∠BAC=∠DAP，则△ABC∽△ADP，所以可以得到∠ADP=∠APD=∠ABC=∠ACB=∠BDC。

∠CDN=∠ADP-∠ADC=∠BDC-∠ADC=∠ADB=∠CDM，

则根据SAS可以得到△CDM≌△CDN。

那么可以得到∠CMD=∠CND，

则∠BMD=∠CNP，

∠BDM=∠BDC﹣MDC＝∠APD-∠ADB=∠APD-∠APC=∠CPN，

加上BD=CP，那么就可以得到△BDM≌△CPN（AAS），

进而得到DM=CN=CM。

当然，可以将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACP。那么也可以反过来旋转。

如下图，将△ACD绕点A旋转至△DBP，连接PD，在PD上取一点N，是的BN=BM。证明的方法和上面是类似的，使用二次全等即可得到结论。

还有一位朋友（@尺*角 同学）发了一张图，截图如下，思路不是特别清晰，还望赐教。

本题有一定难度，角度与边长之间的关系比较难进行转化。不过通过发现已知图形的特殊性，可以得到思路，通过仔细分析，逐渐得到想要的结论。

解题关键还是找突破口进行尝试，只有不断尝试，才能找到理想的解题方法。