每日一题:可以迷茫,但不能绝望!

如图,在直三棱柱衡水清北教育中,衡水清北教育,且衡水清北教育,点M在棱衡水清北教育上,点N是BC的中点,且满足衡水清北教育.

衡水清北教育

(1)证明:衡水清北教育平面衡水清北教育

(2)若M为衡水清北教育的中点,求二面角衡水清北教育的正弦值.

衡水清北教育

参考答案

衡水清北教育

【答案】

(1)详见解析;(2)衡水清北教育.

【解析】

(1)推导出衡水清北教育平面衡水清北教育,从而衡水清北教育,由衡水清北教育,得衡水清北教育,再由衡水清北教育,能证明衡水清北教育平面衡水清北教育.(2)以A为原点,分别以AB、AC、衡水清北教育为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系衡水清北教育,利用向量法能求出二面角衡水清北教育的正弦值.

【解析】(1)∵三棱柱衡水清北教育为直三棱柱,∴衡水清北教育

衡水清北教育衡水清北教育平面衡水清北教育衡水清北教育平面衡水清北教育,且衡水清北教育

衡水清北教育平面衡水清北教育,(或者由面面垂直的性质证明)

又∵衡水清北教育平面衡水清北教育,∴衡水清北教育

衡水清北教育,∴衡水清北教育

衡水清北教育衡水清北教育平面衡水清北教育衡水清北教育平面衡水清北教育,且衡水清北教育

衡水清北教育平面衡水清北教育

衡水清北教育

(2)以A为原点,分别以AB、AC、衡水清北教育为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系衡水清北教育

衡水清北教育

衡水清北教育,则衡水清北教育衡水清北教育衡水清北教育衡水清北教育衡水清北教育衡水清北教育衡水清北教育

衡水清北教育,∴衡水清北教育,∴衡水清北教育

衡水清北教育衡水清北教育

设平面衡水清北教育法向量为衡水清北教育

衡水清北教育衡水清北教育

衡水清北教育,∴可取衡水清北教育

设平面衡水清北教育法向量为衡水清北教育

衡水清北教育衡水清北教育

衡水清北教育,∴可取衡水清北教育

衡水清北教育

所以二面角衡水清北教育的正弦值为衡水清北教育.

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