每日一题:可以迷茫,但不能绝望!

衡水清北教育
2021-5-04 22:09:54 文/邱翔 图/杜博
如图,在直三棱柱中,
,且
,点M在棱
上,点N是BC的中点,且满足
.
(1)证明:平面
;
(2)若M为的中点,求二面角
的正弦值.
参考答案
【答案】
(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)推导出平面
,从而
,由
,得
,再由
,能证明
平面
.(2)以A为原点,分别以AB、AC、
为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系
,利用向量法能求出二面角
的正弦值.
【解析】(1)∵三棱柱为直三棱柱,∴
∵,
平面
,
平面
,且
,
∴平面
,(或者由面面垂直的性质证明)
又∵平面
,∴
∵,∴
,
∵,
平面
,
平面
,且
,
∴平面
(2)以A为原点,分别以AB、AC、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系
﹐
设,则
,
,
,
,
,
,
,
∵,∴
,∴
∴,
,
设平面法向量为
,
∴,∴可取
设平面法向量为
,
∴,∴可取
∴
所以二面角的正弦值为
.