每日一题:可以迷茫,但不能绝望!

更新时间:2021/5/4
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如图,在直三棱柱中,,且,点M在棱上,点N是BC的中点,且满足.

(1)证明:平面

(2)若M为的中点,求二面角的正弦值.

参考答案

【答案】

(1)详见解析;(2).

【解析】

(1)推导出平面,从而,由,得,再由,能证明平面.(2)以A为原点,分别以AB、AC、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角的正弦值.

【解析】(1)∵三棱柱为直三棱柱,∴

平面平面,且

平面,(或者由面面垂直的性质证明)

又∵平面,∴

,∴

平面平面,且

平面

(2)以A为原点,分别以AB、AC、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系

,则

,∴,∴

设平面法向量为

,∴可取

设平面法向量为

,∴可取

所以二面角的正弦值为.

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