高中数学复数运算公式整理
高中数学
2023/3/1
复数
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考试内容：复数的概念；复数的加法和减法；复数的乘法和除法；数系的扩充。
复数知识要点：复数是高中代数的重要内容，在高考试题中约占8%-10%，一般的出一道基础题和一道中档题，经常与三角、解析几何、方程、不等式等知识综合.本章主要内容是复数的概念，复数的代数、几何、三角表示方法以及复数的运算.方程、方程组，数形结合，分域讨论，等价转化的数学思想与方法在本章中有突出的体现.而复数是代数，三角，解析几何知识，相互转化的枢纽，这对拓宽学生思路，提高学生解综合习题能力是有益的.数、式的运算和解方程，方程组，不等式是学好本章必须具有的基本技能.简化运算的意识也应进一步加强.
1.知识网络图
2.复数中的难点
(1)复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地加以证明.
(2)复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练.
(3)复数的辐角主值的求法.
(4)利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示，同时复数的模和辐角都具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会.
3.复数中的重点
(1)理解好复数的概念，弄清实数、虚数、纯虚数的不同点.
(2)熟练掌握复数三种表示法，以及它们间的互化，并能准确地求出复数的模和辐角.复数有代数，向量和三角三种表示法.特别是代数形式和三角形式的互化，以及求复数的模和辐角在解决具体问题时经常用到，是一个重点内容.
(3)复数的三种表示法的各种运算，在运算中重视共轭复数以及模的有关性质.复数的运算是复数中的主要内容，掌握复数各种形式的运算，特别是复数运算的几何意义更是重点内容.
(4)复数集中一元二次方程和二项方程的解法.
4. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即
.
⑵复数及其相关概念：
① 复数—形如a + bi的数（其中
）；
② 实数—当b = 0时的复数a + bi，即a；
③ 虚数—当
时的复数a + bi；
④ 纯虚数—当a = 0且时的复数a + bi，即bi.
⑤ 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）
⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.
⑶两个复数相等的定义：
.
⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.
注：①若
为复数，则
若
，则
.（×）[为复数，而不是实数]
若
，则
.（√）
②若
，则
是
的必要不充分条件.（当
，
时，上式成立）
5. ⑴复平面内的两点间距离公式：
.
其中
是复平面内的两点
所对应的复数，
间的距离.
由上可得：复平面内以
为圆心，
为半径的圆的复数方程：
.
⑵曲线方程的复数形式：
①
为圆心，r为半径的圆的方程.
②
表示线段
的垂直平分线的方程.
③
为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若
，此方程表示线段
）.
④
表示以
为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若，此方程表示两条射线）.
⑶绝对值不等式：
设是不等于零的复数，则
①
.
左边取等号的条件是
，右边取等号的条件是
.
②
.
左边取等号的条件是
，右边取等号的条件是
.
注：
.
6. 共轭复数的性质：
，
（
a + bi） 
（
） 
注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]
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⑴①复数的乘方：
②对任何
，
及
有
③
注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如
若由
就会得到
的错误结论.
②在实数集成立的
. 当
为虚数时，
，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.
⑵常用的结论：
若
是1的立方虚数根，即
，则 .
8. ⑴复数是实数及纯虚数的充要条件：
①
.
②若
，是纯虚数
.
⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.
注：
.
9. ⑴复数的三角形式：
.
辐角主值：
适合于0≤
＜
的值，记作
.
注：①为零时，可取
内任意值.
②辐角是多值的，都相差2
的整数倍.
③设
则
.
⑵复数的代数形式与三角形式的互化：
，
，
.
⑶几类三角式的标准形式：
10. 复数集中解一元二次方程：
在复数集内解关于的一元二次方程
时，应注意下述问题：
①当
时，若
＞0，则有二不等实数根
；若=0，则有二相等实数根
；若＜0，则有二相等复数根
（
为共轭复数）.
②当
不全为实数时，不能用
方程根的情况.
③不论为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.
11. 复数的三角形式运算：
棣莫弗定理：
