函数的定义域及原则

一、函数的定义域及原则

1、定义：

设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系$f$，使对于集合A中的任意一个数$x$，在集合B中都有唯一确定的数$f(x)$和它对应，那么就称$f:A o B$为从集合A到集合B的一个函数，计作 $y=f(x)，xin A$。其中，$x$叫做自变量，$x$的取值范围A叫做函数的定义域.

2、确定函数定义域的原则

(1) 当函数$y=f(x)$用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数$x$的集合.

(2) 当函数$y=f(x)$用图象给出时，函数的定义域是指图象在$x$轴上的投影所覆盖的实数$x$的集合.

(3) 当函数$y=f(x)$用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数$x$的集合.

(4) 当函数$y=f(x)$由实际问题给出时，函数的定义域受问题的实际意义限制.

提醒：函数的定义域是非空数集.

二、函数的定义域相关例题

求下列函数的定义域

(1) $y=2x+3；$

(2) $f(x)= rac{1}{x+1}；$

(3) $y=sqrt{1-x}+ rac{1}{x+5}；$

(4) $y= rac{3}{1-sqrt{1-x}}$.

答案：

(1) ${xmid x in R}$

(2) ${x mid x ot=-1}$

(3) ${xmid x le1且xot=-5}$

(4) ${xmid x le1且xot=0 }$

解析：

(1) 函数 $y=2x+3$的定义域为${xmid x in R}$.

(2) 要使函数有意义，则有$x+1ot=0，x ot= -1.$ 故函数的定义域为${x mid x ot=-1}$.

(3) 由已知得 $egin{cases}1-x geqslant 0,x+5ot=0, end{cases}$解得$x leq 1$且$xot=-5$.

故所求定义域为${xmid x le1且xot=-5}$.

(4) 由已知得$egin{cases} 1-xge0,1-sqrt{1-x}ot=0, end{cases}$解得$x le1且xot=0$.

故所求定义域为${xmid x le1且xot=0 }$.