怎么证明面面平行

面面平行的判定定理为如果一个平面内有两条相交直线与都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；如果两个平面都垂直同一条直线，那么这两个平面是互相平行的。

如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。

几何语言：aα，bα，且a∩b=A，a∥β，b∥β。则α∥β。

反证法证明：假设这两个平面不平行，那么它们相交，设交线为l。

∵a∥β

∴a与β无交点

同理，b与β无交点

∵l是两个平面的交线，lβ

∴a与l无交点，b与l无交点，那么它们平行或异面。

又∵aα，bα，lα，即它们不异面

∴a∥l，b∥l

∴a∥b

这与已知条件a∩b=A矛盾，因此假设不成立，α∥β

向量法证明：设直线a，b的方向向量为a，b，平面β的法向量为p。

∵a∥β，b∥β

∴a⊥p，b⊥p，即a·p=0，b·p=0

∵a，b是α内两条相交直线

∴设有任一向量cα，根据平面向量基本定理可知，存在一对有序数对（x,y）使得c=xa+yb

那么p·c=p·（xa+yb）=xp·a+yp·b=0

即p⊥c

由c的任意性可知p与α内任一向量都垂直，即p也是α的法向量。

∴α∥β