面面垂直推线面垂直定理

面面垂直，一面内有一直线垂直于这两面交线，得到线面垂直。已知α⊥β，α∩β=l，O∈l，OP⊥l，OPα。求OP⊥β。过O在β内作OQ⊥l，由二面角知识可知∠POQ是二面角α-l-β的平面角。因为α⊥β所以∠POQ=90°，即OP⊥OQ，因为OP⊥l，l∩OQ=O，lβ，OQβ，所以OP⊥β。

如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

直线与平面垂直定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就说这条直线与此平面互相垂直。是将“三维”问题转化为“二维”解决是一种重要的立体几何数学思想方法。在处理实际问题过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的重要垂直关系，从而架起已知与未知的“桥梁”。

性质定理1：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的所有直线。

性质定理2：经过空间内一点，有且只有一条直线垂直已知平面。

性质定理3：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。

性质定理4：垂直于同一平面的两条直线平行。

推论：空间内如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。(该推论意味着平行线的传递性不仅在平面几何上，在空间几何上也成立。)

由性质定理2可知，过空间内一点(无论是否在已知平面上)，有且只有一条直线与平面垂直。下面就讨论如何作出这条唯一的直线。