平面向量共线定理和基本定理

一、平面向量共线定理和基本定理

1、向量共线定理

向量$oldsymbol a(oldsymbol a≠0)$与$oldsymbol b$共线，当且仅当有唯一一个实数$λ$，使$oldsymbol b=λoldsymbol a$。

注：（1）定理中$oldsymbol a(oldsymbol a≠0)$不能漏掉。若$oldsymbol a=oldsymbol b=oldsymbol 0$，则实数$λ$可以是任意实数；若$oldsymbol a=oldsymbol 0$，$oldsymbol b≠oldsymbol 0$，则不存在实数$λ$，使得$oldsymbol b=λoldsymbol a$。

（2）对任意两个向量$oldsymbol a$，$oldsymbol b$，若存在不全为0的实数对（$λ$，$μ$），使$λoldsymbol a+μoldsymbol b=0$，则$oldsymbol a$与$oldsymbol b$共线。

（3）向量共线定理主要用来证明两条直线平行、三点共线等问题。

2、平面向量基本定理

如果$oldsymbol e_1$，$oldsymbol e_2$是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任意向量$oldsymbol a$，有且只有一对实数$λ_1$，$λ_2$，使$oldsymbol a=λ_1oldsymbol e_1+λ_2oldsymbol e_2$。把不共线的向量$oldsymbol e_1$，$oldsymbol e_2$叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

定理的推广：平面内任意三个不共线（两两不共线）的向量中，任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且形式唯一。

注：（1）由于零向量与任何向量都共线，所以零向量不能作为基底。

（2）如果对于一组基底$oldsymbol e_1$，$oldsymbol e_2$，有$oldsymbol a=$$λ_1oldsymbol e_1+$$λ_2oldsymbol e_2=$$μ_1oldsymbol e_1+$$μ_2oldsymbol e_2$，则可以得到$λ_1=μ_1$，且$λ_2=μ_2$。

二、平面向量共线定理的相关例题

设$oldsymbol e_1$，$oldsymbol e_2$是两个不共线的向量，若向量$m=-oldsymbol e_1+koldsymbol e_2(k∈mathbf{R})$与向量$oldsymbol n=oldsymbol e_2-2oldsymbol e_1$共线，则有___

A．$k=0$ B．$k=1$

C．$k=2$ D．$k= rac{1}{2}$

答案：D

解析：因为向量$oldsymbol m=-oldsymbol e_1+koldsymbol e_2(k∈mathbf{R})$与向量$oldsymbol n=oldsymbol e_2-2oldsymbol e_1$共线，所以存在实数$λ$，使得$oldsymbol m=λoldsymbol n$，所以有$-oldsymbol e_1+koldsymbol e_2=$$λ(oldsymbol e_2-2oldsymbol e_1)$，因此$egin{cases}k=λ,-1=-2λ,end{cases}$解得$k= rac{1}{2}$，故选D。