离散型随机变量的均值与方差

一、离散型随机变量的均值与方差

1、离散型随机变量的均值与方差

均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数。

方差是随机变量所有可能取值与均值偏差的平方关于取值概率的加权平均数。

随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于平均值的平均程度。

（1）方差或标准差越大，随机变量偏离于均值的平均程度越大，此时$X$的取值越分散。

（2）方差或标准差越小，随机变量偏离于均值的平均程度越小，此时$X$的取值越集中。

2、离散型随机变量的均值与方差公式

$E(X)=sumlimits_{i=1}^{n}{x_ip_i}$，$D(X)=sumlimits_{i=1}^{n}{(x_i-E(X))^2p_i}$。

3、均值（数学期望）的性质

（1）$E$（$k$）=$k$（$k$为常数）。

（2）$E$（$aX$+$b$）=$aE$（$X$）+$b$。

（3）$E(X_1+X_2)=E(X_1)+E(X_2)$。

（4）若$X_1,X_2$相互独立，则$E(X_1·X_2)=E(X_1)·E(X_2)$。

4、方差的性质

（1）$D$($k$)=0（$k$为常数）。

（2）$D(aX+b)=a^2D(X)$。

（3）$D(X)=E(X^2)-(E(X))^2$。

（4）若$X_1,X_2,cdots,X_n$两两独立，则$D(X_1+X_2+cdots+X_n)$=$D(X_1)+D(X_2)+cdots+D(X_n)$。

5、两点分布、二项分布、超几何分布的方差

（1）若$X$服从两点分布，则$D$（$X$）=$p$（1-$p$）。

（2）若$X$服从二项分布，即$X hicksim B(n,p)$，则$D$（$X$）=$n$$p$（1-$p$）。

（3）若离散型随机变量$X$服从参数为$n$，$M$，$N$的超几何分布，即$X hicksim H(n,M,N)$，则$D(X)= rac{nM}{N}·left( 1- rac{M}{N} ight)· rac{N-n}{N-1}$。

二、离散型随机变量的均值与方差的相关例题

已知$X$是离散型随机变量，$P(X=1)= rac{1}{4}$，$P(X=a)= rac{3}{4}$，$E(X)= rac{7}{4}$，则$D(2X-1)$=___

A．$ rac{2}{5}$ B．$ rac{3}{4}$ C．$ rac{3}{5}$ D．$ rac{5}{6}$

答案：B

解析：∵$X$是离散型随机变量，$P(X=1)= rac{1}{4}$，$P(X=a)= rac{3}{4}$，$E(X)= rac{7}{4}$，∴由已知得$1× rac{1}{4}+a× rac{3}{4}= rac{7}{4}$，解得$a$=2，∴$D(X)$=$left( 1- rac{7}{4} ight)^2$×$ rac{1}{4}$+$left(2- rac{7}{4}ight)^2$×$ rac{3}{4}$=$ rac{3}{16}$,∴$D(2X-1)=2^2D(X)=4× rac{3}{16}= rac{3}{4}$，故选B。