概率公式和贝叶斯公式

一、概率公式和贝叶斯公式

1、概率的加法公式

①若事件$A$与事件$B$互斥，则$P$（$A$∪$B$）=$P$（$A$）+$P$（$B$）。

②若事件$A$与事件$B$互为对立事件，则$A$∪$B$ 为必然事件，$P$（$A$∪$B$）=1，$P$（$A$）=1-$P$（$B$）。

当一个事件的概率不易求出，但其对立事件的概率容易求出时，可运用此公式，即间接法求概率。

2、已知两个事件$A$，$B$的概率分别为$P$（$A$），$P$（$B$），那么有如下结论：

（1）$A$，$B$中至少有一个发生，其概率为$P$（$A$∪$B$）。

若$A$，$B$互斥，则有$P$（$A$∪$B$）=$P$（$A$）+$P$（$B$）。

若$A$，$B$相互独立，则有$P$（$A$∪$B$）=1-$P(overline{A})P(overline{B})$或$P$（$A$∪$B$）=$P(A)+P(B)-P(AB)$。

（2）$A$ ，$B$都发生，其概率为$P$（$AB$）。

若$A$，$B$互斥，则有$P$（$AB$）=0。

若$A$，$B$相互独立，则有$P$（$AB$）=$P$（$A$）$P$（$B$）。

（3）$A$ ，$B$都不发生，其概率为$P(overline{A}overline{B})$。

若$A$，$B$互斥，则$P(overline{A}overline{B})$=1-$[P(A)+P(B)]$。

若$A$，$B$相互独立，则有$P(overline{A}overline{B})$=$P(overline{A})P(overline{B})$。

（4）$A$ ，$B$恰有一个发生，其概率为$P(Aoverline{B}∪overline{A}B)$。

若$A$，$B$互斥，则有$P(Aoverline{B}∪overline{A}B)$=$P$（$A$）+$P$（$B$）。

若$A$，$B$相互独立，则有$P(Aoverline{B}∪overline{A}B)$=$P(A)P(overline{B})+P(overline{A})P(B)$。

（5）$A$，$B$中至多有一个发生，其概率为$P(overline{A}overline{B}∪Aoverline{B}∪overline{A}B)$。

若$A$，$B$互斥，则$P(overline{A}overline{B}∪Aoverline{B}∪overline{A}B)$=1。

若$A$，$B$相互独立，则$P(overline{A}overline{B}∪Aoverline{B}∪overline{A}B)$=1-$P$（$A$）$P$（$B$）。

3、条件概率公式：$P(B|A)= rac{P(AB)}{P(A)}$(在事件$A$发生的条件下，事件$B$发生的概率)。

4、全概率公式：$P(B)=sumlimits_{i=1}^{n}{P(A_i)P(B|A_i)}$，$i$=1,2,$cdots,n$。

5、贝叶斯公式：$P(A_i|B)= rac{P(A_i)P(B|A_i)}{sumlimits_{k=1}^{n}{P(A_k)P(B|A_k)}}$，$i$=1,2,$cdots,n$。

二、概率公式的相关例题

已知随机事件$A，B$发生的概率满足条件$P(A∪B)= rac{3}{4}$,某人猜测事件$overline{A}∩overline{B}$发生，则此人猜测正确的概率为

A．1B．$ rac{1}{2}$C．$ rac{1}{4}$D．0

答案：C

解析：事件$overline{A}$∩$overline{B}$与事件$A$∪$B$是对立事件，则$P$($overline{A}$∩$overline{B}$)=1-$P$($A$∪$B$)=1-$ rac{3}{4}$=$ rac{1}{4}$，故选：C。