平面向量的加法和常用结论

一、平面向量的加法和常用结论

1、向量的加法

求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

注：向量的和仍是一个向量；对于零向量与任一向量$oldsymbol a$，有$oldsymbol 0+oldsymbol a=oldsymbol a+oldsymbol 0=oldsymbol a$，即任意向量与零向量的和为其本身。

①常用结论

$oldsymbol 0+oldsymbol a=oldsymbol a+oldsymbol 0=oldsymbol a$，$|oldsymbol a+oldsymbol b|leqslant |oldsymbol a|+|oldsymbol b|$。

当$oldsymbol a$与$oldsymbol b$同向时，$|oldsymbol a+oldsymbol b|=|oldsymbol a|+|oldsymbol b|$。

当$oldsymbol a$与$oldsymbol b$反向或$oldsymbol a$，$oldsymbol b$中至少有一个为$oldsymbol 0$时，$|oldsymbol a+oldsymbol b|=$$|oldsymbol a|-|oldsymbol b|$（或$|oldsymbol b|-|oldsymbol a|$）。

②向量加法的运算律

交换律：$oldsymbol a+oldsymbol b=oldsymbol b+oldsymbol a$。

结合律：$(oldsymbol a+oldsymbol b)+oldsymbol c=oldsymbol a+(oldsymbol b+oldsymbol c)$。

2、向量的减法

求两个向量差的运算，叫做向量的减法。

注：减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，两个向量的差仍是向量。

常用结论

$-(-oldsymbol a)=oldsymbol a$，$oldsymbol a+(-oldsymbol a)=(-oldsymbol a)+oldsymbol a=oldsymbol 0$，$oldsymbol a-oldsymbol b=oldsymbol a+(-oldsymbol b)$。

3、向量的数乘

一般地，我们规定实数$λ$与向量$oldsymbol a$的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作$λoldsymbol a$。它的长度与方向规定如下：

① $|λoldsymbol a|=|λ||oldsymbol a|$。

② 当$λ=0$时，$λoldsymbol a=0$；当$λ<0$时，$λoldsymbol a$的方向与$oldsymbol a$的方向相反；当$λ>0$时，$λoldsymbol a$的方向与$oldsymbol a$的方向相同。

向量数乘运算的结果仍是向量。实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如$λ+oldsymbol a$，$λ-oldsymbol a$无意义。

向量数乘的运算律

设$λ$，$μ$为实数，则有：

$λ(μoldsymbol a)=(λμ)oldsymbol a$（结合律）。

$(λ+μ)oldsymbol a=λoldsymbol a+μoldsymbol a$（第一分配律）。

$λ(oldsymbol a+oldsymbol b)=λoldsymbol a+λoldsymbol b$（第二分配律）。

特别地，我们有：

$(-λ)oldsymbol a=-(λoldsymbol a)=λ(-oldsymbol a)$。

$λ(oldsymbol a-oldsymbol b)=λoldsymbol a-λoldsymbol b$。

4、向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。对于任意向量$oldsymbol a$，$oldsymbol b$以及任意实数$λ$，$μ_1$，$μ_2$，恒有$λ(μ_1oldsymbol a±μ_2oldsymbol b)=$$λμ_1oldsymbol a±λμ_2oldsymbol b$。

二、平面向量的加法的相关例题

已知向量$oldsymbol a$，$oldsymbol b$均为非零向量，则下列说法不正确的个数是___

|oldsymbol b|$，则向量$oldsymbol a+oldsymbol b$与$oldsymbol a$的方向相同；

② 向量$oldsymbol a$与$oldsymbol b$反向，且$|oldsymbol a|<|oldsymbol b|$，则向量$oldsymbol a+oldsymbol b$与$oldsymbol a$的方向相同；

③ 向量$oldsymbol a$与$oldsymbol b$同向，则向量$oldsymbol a+oldsymbol b$与$oldsymbol a$的方向相同。

A．0 B．1 C．2 D．3

答案：B

|oldsymbol b|$，向量$oldsymbol a+oldsymbol b$与$oldsymbol a$的方向相同正确；对于②，向量$oldsymbol a+oldsymbol b$与$oldsymbol b$的方向相同，故②说法不正确；③向量$oldsymbol a$与$oldsymbol b$同向，则向量$oldsymbol a+oldsymbol b$与$oldsymbol a$的方向相同正确，故①③说法正确。故选：B。