裂项相消法的定义和常见的裂项公式

一、裂项相消法的定义和常见的裂项公式

1、裂项相消法

把数列的每一项拆成两项之差，求和时有些部分可以相互抵消，从而达到求和的目的。

2、常见的裂项公式：

（1）若${a_n}$是等差数列，则$ rac{1}{a_na_{n+1}}=$$ rac{1}{d}·left( rac{1}{a_n}- rac{1}{a_{n+1}}ight)$，$ rac{1}{a_n·a_{n+2}}=$$ rac{1}{2d}left( rac{1}{a_n}- rac{1}{a_{n+2}}ight)$。

（2）$ rac{1}{n(n+1)}= rac{1}{n}- rac{1}{n+1}$。

（3）$ rac{1}{n(n+k)}= rac{1}{k}left( rac{1}{n}- rac{1}{n+k}ight)$。

（4）$ rac{1}{(2n-1)(2n+1)}=$$ rac{1}{2}left( rac{1}{2n-1}- rac{1}{2n+1}ight)$。

（5）$ rac{1}{n(n+1)(n+2)}=$$ rac{1}{2}left[ rac{1}{n(n+1)}- rac{1}{(n+1)(n+2)}ight]$。

（6）$ rac{1}{sqrt{n}+sqrt{n+1}}=$$sqrt{n+1}-sqrt{n}$。

（7）$ rac{1}{sqrt{n}+sqrt{n+k}}=$$ rac{1}{k}(sqrt{n+k}-sqrt{n})$。

注：抵消后的项数并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能剩下第一项和倒数第二项。通过裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂项前后保持相等。

二、裂项相消法的例题

等差数列${a_n}$的前$n$项和为$S_n$，$a_3=3$，$S_4=10$，则$underset{k=1}{overset{n}{sum}} rac{1}{S_k}=$____

A．$ rac{n}{n+1}$ B．$ rac{2n}{n+1}$

C．$ rac{3n}{n+1}$ D．$ rac{4n}{n+1}$

答案：B

解析：设等差数列的首项为$a_1$，公差为$d$，由题意有：$egin{cases}a_1+2d=3,4a_1+ rac{4×3}{2}d=10,end{cases}$

解得$egin{cases}a_1=1,d=1,end{cases}$

数列的前$n$项和$S_n=$$na_1+$$ rac{n(n-1)}{2}d=$$n×1+$$ rac{n(n-1)}{2}×$$1=$$ rac{n(n+1)}{2}$，$ rac{1}{S_k}=$$ rac{2}{k(k+1)}=$$2left( rac{1}{k}- rac{1}{k+1}ight)$，所以$underset{k=1}{overset{n}{sum}} rac{1}{S_k}=$$2Big[left(1- rac{1}{2}ight)+$$left( rac{1}{2}- rac{1}{3}ight)+$$cdots+$$left( rac{1}{n}- rac{1}{n+1}ight)Big]=$$2left(1- rac{1}{n+1}ight)=$$ rac{2n}{n+1}$。