平面向量的数量积和几何意义

一、平面向量的数量积和几何意义

1、向量的夹角

已知两个非零向量$oldsymbol a$和$oldsymbol b$，作$overrightarrow{OA}=$$oldsymbol a$，$overrightarrow{OB}=$$oldsymbol b$，则$∠AOB=θ$（$0°leqslant θleqslant 180°$）叫做向量$oldsymbol a$与$oldsymbol b$的夹角。

当$θ=0°$时，向量$oldsymbol a$，$oldsymbol b$共线且同向；

当$θ=90°$时，向量$oldsymbol a$，$oldsymbol b$相互垂直，记作$oldsymbol a⊥oldsymbol b$；

当$θ=180°$时，向量$oldsymbol a$，$oldsymbol b$共线且反向。

注：（1）向量的夹角是针对非零向量定义的。

（2）只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角。

2、平面向量的数量积

已知两个非零向量$oldsymbol a$与$oldsymbol b$，我们把数量$|oldsymbol a||oldsymbol b|·cos θ$叫做$oldsymbol a$与$oldsymbol b$的数量积（或内积），记作$oldsymbol a·oldsymbol b$，即$oldsymbol a·oldsymbol b=$$|oldsymbol a||oldsymbol b|·cos θ$，其中$θ$是$oldsymbol a$与$oldsymbol b$的夹角。

两个向量夹角的取值范围是$[0°,180°]$，零向量与任一向量的数量积为0。

数量积的几何意义

数量积$oldsymbol a$·$oldsymbol b$等于$oldsymbol a$的长度$|oldsymbol a|$与$oldsymbol b$在$oldsymbol a$的方向上的投影$|oldsymbol b|cos θ$的乘积。

注：①投影和两个向量的数量积都是数量，不是向量。当$θ$为锐角时投影为正值；当$θ$为钝角时投影为负值；当$θ$为直角时投影为0；当$θ=0°$时投影为$|oldsymbol b|$；当$θ=180°$时投影为$-|oldsymbol b|$。

② $oldsymbol b$在$oldsymbol a$方向上的投影可以记为$|oldsymbol b|cos θ$，也可记为$ rac{oldsymbol a·oldsymbol b}{|oldsymbol a|}$。

二、平面向量的数量积的相关例题

已知$oldsymbol a$，$oldsymbol b$均为单位向量，若$|oldsymbol a-2oldsymbol b|=sqrt{3}$，则向量$|oldsymbol a|$与$|oldsymbol b|$的夹角为___

A．$ rac{π}{6}$ B．$ rac{π}{3}$ C．$ rac{2π}{3}$ D．$ rac{5π}{6}$

答案：B

解析：由$|oldsymbol a-2oldsymbol b|=sqrt{3}$得$(oldsymbol a-2oldsymbol b)^2=3$，即$oldsymbol a^2+$$4b^2-$$4oldsymbol a·oldsymbol b=$3，设单位向量$oldsymbol a$与$oldsymbol b$的夹角为$θ$，则有1+4-4$cos θ$=3，解得$cos θ= rac{1}{2}$，又$θ∈[0,π]$，所以$θ= rac{π}{3}$，故选B。