直线与圆锥曲线的位置关系

一、直线与圆锥曲线的位置关系

1、判断直线$l$与圆锥曲线$C$的位置关系时，通常将直线$l$的方程（$A$，$B$不同时为0）代入圆锥曲线$C$的方程$F(x,y)=0$，消去$y$（也可以消去$x$）得到一个关于变量$x$（或$y$）的一元方程。即$egin{cases}Ax+By+C=0,F(x,y)=0,end{cases}$消去$y$，得$ax^2+bx+c=0$。

设一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的判别式为$mathit{Δ}$，

0Leftrightarrow$直线与圆锥曲线相交；

$mathit{Δ}=0Leftrightarrow$直线与圆锥曲线相切；

$mathit{Δ}<0Leftrightarrow$直线与圆锥曲线相离。

2、直线与圆锥曲线相交弦的有关问题

（1）弦长公式：设斜率为$k(k≠0)$的直线$l$与圆锥曲线$C$相交于$A$，$B$两点，$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则$egin{aligned}|AB|&=sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|&=sqrt{1+k^2}·sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}&=sqrt{1+ rac{1}{k^2}}·|y_1-y_2|&=sqrt{1+ rac{1}{k^2}}·sqrt{(y_1+y_2)^2-4y_1y_2}end{aligned}$

（2）中点弦问题的考查类型

①已知一定点$P$在圆锥曲线内，求过$P$点且以$P$为中点的弦所在的直线方程。

②利用已知条件求弦的中点。

③求圆锥曲线中弦的垂直平分线。

（3）中点弦问题的常用解法

根与系数的关系法

0$，然后再根据题设条件求解。

点差法

若直线（存在斜率）与圆锥曲线$C$有两个交点$A$和$B$，一般地，首先设出交点坐标$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，代人曲线方程，通过作差，构造出$x_1+x_2$，$y_1+y_2$，$x_1-x_2$，$y_1-y_2$，从而建立了中点坐标和斜率的关系。

二、直线与圆锥曲线的位置关系的相关例题

已知椭圆$C$的焦点为$F_1(-1,0)$，$F_2(1,0)$，过$F_2$的直线与$C$交于$A$，$B$两点。若$|AF_2|=2|F_2B|$，$|AB|=|BF_1|$，则$C$的方程为___

A．$ rac{x^2}{2}+y^2=1$

B．$ rac{x^2}{3}+ rac{y^2}{2}=1$

C．$ rac{x^2}{4}+ rac{y^2}{3}=1$

D．$ rac{x^2}{5}+ rac{y^2}{4}=1$

答案：B

解析：设$|F_2B|=t$，则$|AF_2|=2|F_2B|=2t$，$|BF_1|=|AB|=|AF_2|+|F_2B|=3t$，由点$B$在椭圆上，有$2a=|BF_1|+|F_2B|=4t$，解得$t= rac{a}{2}$，则$|AF_2|=2t=a$，则$|AF_2|=2a-|AF_1|=a$，得$|AF_1|=a$，则在$△ABF_1$中，由余弦定理得$cos A= rac{|AF_1|^2+|AB|^2-|BF_1|^2}{2|AF_1|·|AB|}= rac{a^2+ rac{9a^2}{4}- rac{9a^2}{4}}{2×a× rac{3a}{2}}= rac{1}{3}$，在$△AF_1F_2$中，由余弦定理得$cos A= rac{|AF_1|^2+|AF_2|^2-|F_1F_2|^2}{2|AF_1|·|AF_2|}= rac{a^2+a^2-4c^2}{2×a×a}= rac{1}{3}$，解得$a^2=3c^2=3$，则$b^2=a^2-c^2=2$，所以椭圆的方程为$ rac{x^2}{3}+ rac{y^2}{2}=1$，故选B。