四点共圆的定义和性质

一、四点共圆的定义和性质

1、四点共圆

如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。

2、四点共圆的性质

（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；

（2）圆内接四边形的对角互补；

（3）圆内接四边形的外角等于内对角。

3、四点共圆的判定

判定1：若被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆。

判定2：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可证明这四点共圆。（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）

判定3：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可证明这四点共圆。（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆）

判定4：把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可证明这四点共圆（相交弦定理的逆定理）；或把被证共圆的四点两两连接并延长成相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可证明这四点共圆。（割线定理的逆定理）

二、四点共圆的相关例题

锐角$△ABC$的三条高$AD$、$BE$、$CF$交于$H$，在$A$、$B$、$C$、$D$、$E$、$F$、$H$七个点中，能组成四点共圆的组数是___

A．4组 B．5组 C．6组 D．7组

答案：C

解析：以$AH$为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆$(A、F、H、E)$，以$BH$为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆$(B、F、H、D)$，以$CH$为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆$(C、D、H、E)$，以$AB$为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆$(A、E、D、B)$，以$BC$为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆$(B、F、E、C)$，以$AC$为斜边的两个直角三:角形，四个顶点共圆$(A、F、D、C)$，共6组。故选C。