平面向量的加法和运算律

一、平面向量的加法和运算律

1、向量

既有大小又有方向的量叫向量。以$A$为起点、$B$为终点的向量记作：$overrightarrow{AB}$或$oldsymbol a$。

向量的两要素：大小和方向。

2、向量的加法

求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

注：向量的和仍是一个向量；对于零向量与任一向量$oldsymbol a$，有$oldsymbol 0+oldsymbol a=oldsymbol a+oldsymbol 0=oldsymbol a$，即任意向量与零向量的和为其本身。

（1）向量加法的三角形法则

已知非零向量$oldsymbol a$，$oldsymbol b$，在平面内任取一点$A$，作$overrightarrow{AB}=oldsymbol a$，$overrightarrow{BC}=oldsymbol b$，则向量$overrightarrow{AC}$叫做$oldsymbol a$与$oldsymbol b$的和，记作$oldsymbol a+oldsymbol b$，即$oldsymbol a+oldsymbol b=$$overrightarrow{AB}+overrightarrow{BC}=$$overrightarrow{AC}$。这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。

（2）向量加法的平行四边形法则

以同一点$O$为起点的两个已知向量$oldsymbol a$，$oldsymbol b$为邻边作平行四边形$OACB$，则以$O$为起点的对角线$OC$就是$oldsymbol a$与$oldsymbol b$的和。把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。

（3）常用结论

$oldsymbol 0+oldsymbol a=oldsymbol a+oldsymbol 0=oldsymbol a$，$|oldsymbol a+oldsymbol b|leqslant |oldsymbol a|+|oldsymbol b|$。

当$oldsymbol a$与$oldsymbol b$同向时，$|oldsymbol a+oldsymbol b|=|oldsymbol a|+|oldsymbol b|$。

当$oldsymbol a$与$oldsymbol b$反向或$oldsymbol a$，$oldsymbol b$中至少有一个为$oldsymbol 0$时，$|oldsymbol a+oldsymbol b|=$$|oldsymbol a|-|oldsymbol b|$（或$|oldsymbol b|-|oldsymbol a|$）。

（4）向量加法的运算律

交换律：$oldsymbol a+oldsymbol b=oldsymbol b+oldsymbol a$。

结合律：$(oldsymbol a+oldsymbol b)+oldsymbol c=oldsymbol a+(oldsymbol b+oldsymbol c)$。

3、向量的减法

求两个向量差的运算，叫做向量的减法。

注：减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，两个向量的差仍是向量。

常用结论

$-(-oldsymbol a)=oldsymbol a$，$oldsymbol a+(-oldsymbol a)=$$(-oldsymbol a)+$$oldsymbol a=oldsymbol 0$，$oldsymbol a-oldsymbol b=$$oldsymbol a+(-oldsymbol b)$。

二、平面向量的加法的相关例题

已知向量$oldsymbol a$，$oldsymbol b$均为非零向量，则下列说法不正确的个数是___

|oldsymbol b|$，则向量$oldsymbol a+oldsymbol b$与$oldsymbol a$的方向相同；

② 向量$oldsymbol a$与$oldsymbol b$反向，且$|oldsymbol a|<|oldsymbol b|$，则向量$oldsymbol a+oldsymbol b$与$oldsymbol a$的方向相同；

③ 向量$oldsymbol a$与$oldsymbol b$同向，则向量$oldsymbol a+oldsymbol b$与$oldsymbol a$的方向相同。

A．0 B．1 C．2 D．3

答案：B

|oldsymbol b|$，向量$oldsymbol a+oldsymbol b$与$oldsymbol a$的方向相同，正确；对于②，向量$oldsymbol a+oldsymbol b$与$oldsymbol b$的方向相同，故②说法不正确；③向量$oldsymbol a$与$oldsymbol b$同向，则向量$oldsymbol a+oldsymbol b$与$oldsymbol a$的方向相同，正确，故①③说法正确。故选B。