多次相遇问题的分类

一、多次相遇问题的分类

多次相遇追及问题可以分为直线型和环型：

（1）直线型

①两端出发

两端出发是指甲、乙两人从路的两端同时出发相向而行（往返行走）。

当第一次他们相遇时，他们走过的路程之和为两地之间的距离$L$。他们下一次迎面相遇，必然是共同走完一圈，一圈的路程之和为$2L$，所以他们第二次相遇走过了$3L$，第三次相遇走过了$5L$，$cdotscdots$第$n$次相遇走过了$(2n-1)L$。

②一端出发

一端出发是指甲、乙两人从路的一端同时出发同向而行（往返行走）。

设甲走的慢，乙走的快，第一次相遇甲乙所走的路程之和为$2L$，第二次相遇，甲乙所走的路程之和为$4L$，$cdotscdots$第$n$次相遇，甲乙所走的路程之和为$2nL$。

（2）环形

①甲、乙两人同时同地迎面相遇

甲、乙从$A$点出发，反向而行，在$B$点相遇，二人共同走完一圈，此后，每次相遇，都是共同走完一圈，所以第$n$次相遇，走过的路程之和为$nL$。

②甲、乙两人同时同地同向追及相遇

甲、乙同向行走，甲第一次追及乙的时候，比乙多走了一圈，此后每次追上乙，都比乙多走一圈，故第$n$次相遇，二人路程差为$nL$。

二、多次相遇问题的相关例题

甲、乙两辆汽车分别从$A$、$B$两站同时出发相向而行，第一次相遇在距$A$站28千米处，相遇后两车继续行进各自到达$B$、$A$两站后，立即沿原路返回，第二次相遇在距$A$站60千米处。则$A$、$B$两站的路程是___千米。

答案：72

解析：设$A$、$B$两站的距离是$s$。第一次相遇：甲走了28千米,乙走了$s-28$千米，速度比是$28∶(s-28)$ ①，第二次相遇：甲走了$s+s-60=$$2s-60$千米，乙走了$s+60$千米，速度比是$(2s-60)∶$$(s+60)$ ②，①=②得$s=72$。