分式的基本性质和概念

一、分式的基本性质和概念

1、分式的概念

一般地，如果$A$，$B$表示两个整式，并且$B$中含有字母，那么式子$ rac{A}{B}$叫做分式。分式$ rac{A}{B}$中，$A$叫做分子，$B$叫做分母。

2、分式有意义的条件

分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0。即当$B≠0$时，分式$ rac{A}{B}$才有意义。

3、分式的值为0的条件

当分式的分子等于0，且分母不等于0时，分式的值为0，即当$A=0$，且$B≠0$时，分式$ rac{A}{B}=0$。

4、分式的基本性质

（1）分式的基本性质

分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

即$ rac{A}{B}= rac{A·C}{B·C}$，$ rac{A}{B}= rac{A÷C}{B÷C}$$(C≠0)$，其中$A$，$B$，$C$是整式。

（2）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

（3）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数约去它们的最大公约数，如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分。

（4）最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。

（5）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

（6）通分法则：把两个或者几个分式通分，①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂与所有不同因式的积）。②再利用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式。③若分母是多项式，则先分解因式，再通分。

（7）最简公分母：各分式分母的所有因式的最高次幂的积，叫做最简公分母。

确定分式的最简公分母的步骤：

①取各分式的分母中系数的最小公倍数。

②各分式的分母中所有字母（或因式）都要取到。

③相同字母（或因式）的幂取指数最大的。

④所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积即为最简公分母。

二、分式的基本性质的相关例题

下列分式中，最简分式为___

A．$ rac{x+1}{2x^2+4x+2}$

B．$ rac{x-2y}{x^2-4y^2}$

C．$ rac{x+3x^2}{x^2}$

D．$ rac{1-x}{2(x+1)}$

答案：D

解析：A．$ rac{x+1}{2x^2+4x+2}= rac{x+1}{2(x+1)^2}= rac{1}{2x+2}$，故原式不是最简分式，不合题意；B．$ rac{x-2y}{x^2-4y^2}= rac{x-2y}{(x-2y)(x+2y)}= rac{1}{x+2y}$，故原式不是最简分式，不合题意；C．$ rac{x+3x^2}{x^2}= rac{1+3x}{x}$，故原式不是最简分式，不合题意；D．$ rac{1-x}{2(x+1)}$是最简分式，符合题意。故选D。