2022牡丹江中考数学压轴题分析2：两线一圆解决矩形存在性问题

本题选自2022年牡丹江中考数学压轴题，考查矩形的存在性问题，题目有2个动点，情况比较多样，因此具有一定的难度，不过熟悉“两线一圆”模型的话，可以快速进行判断与求解，具体情况下面的分析。

两线一圆解决直角三角形的存在性问题

【智慧姐讲压轴题】直角三角形的存在性问题

【题目】

（2022牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，四边形，在轴的正半轴上，，在轴上，，平分，交于点，交于点，．若，的长分别是一元二次方程的两个根，且OC" data-formula-type="inline-equation" >．请解答下列问题：（1）求点，的坐标；（2）若反比例函数图象的一支经过点，求这个反比例函数的解析式；（3）平面内是否存在点，在的上方），使以，，，为顶点的四边形是边长比为的矩形？若存在，请直接写出在第四象限内点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】

（1）题（1）与前面几篇中提到的问题几乎类似，都是解一元二次方程为背景，求出来OB=3，OC=2，那么就可以得到点B的坐标为（-3，0），点C的坐标为（2，0）。

（2）要求该反比例函数的解析式，只需求出点D的坐标即可。由于已知∠CAO=∠DBC，所以可以根据一个X字型得到∠AFB=90°。也就是说这个四边形的对角线互相垂直。

题目还已知BD平分∠ABC，那么就可以得到，∠BAC=∠BCA，则AB=BC=5，且F为AC的中点，即AF=CF。

而且AD与BC平行，那么就可以得到一组三角形全等，即△ADF≌△CBF（ASA）。

那么就可以得到AD与BC平行且相等，这个四边形就是平行四边形了。又因为前面证明AB=BC，得一组邻边相等，说明就是一个菱形了。

那么点D的坐标就可以得到了，也就是D（5，4）。

那么反比例函数的k=xy=20，解析式为y=20/x。

（3）本小题是两定两动型矩形存在性问题。此类问题可以直接转化为直角三角形的存在性问题，先确定第3个点，再找第4个点即可。

那么我们可以考虑用两线一圆来探究存在性，然后再确定点坐标。

如上图所示，如果要确定一个点M或者N，那么一定是在这“两线一圆上”。

（当然，题目要要求点M在N的上方，且点N在第四象限。）

①当∠NBD=90°时，点N在BD过点B的垂线上，如果满足边长比为2:3，那么也需要分情况讨论。BD：BN=2:3，或者BD：BN=3:2。那么我们均可以通过构造相似三角形来求解。

那么我们就可以过点D和N分别作x轴的垂线，利用三垂直相似得到点N的坐标。

当BN长的时候，可以得到NQ=12，BQ=6，那么点N的坐标为（3，-12）。

当BN短的时候，可以发现BQ=8/3＜3，那么点N不在第4象限。

通过画图可以发现当∠NBD=90°时，只有上面一种情况存在。

当∠NDB=90°时，无法满足点M在点N的上方，所以也是不存在的。那么就只剩下BD为对角线时，得到∠BND=90°。此时点N在以BC为直径的圆轴上运动。需要满足BN、DN的比值为2:3，也是需要分两种情况讨论。但是点N不能出现在BD的上方，否则也是不满足点M在点N的上方这个条件。先画出图形如下。

那么要确定点N的坐标，依然需要构造三垂直模型进行求解。

当BN短的时候，可以得到BN：DN=2：3，设BG=2x，那么NH=3x，此时可以得到GN=8-3x，那么就可以得到DH=12-9x/2，

而DH=4+BG=4+2x，

建立方程得4+2x=12-9x/2，解得x=16/13，那么就可以得到

BG=32/13，GN=56/13，

那么就可以得到点N的坐标为（17/13，-32/13）。

当BN较长时，可以得到BN：DN=3:2，设BG=3x，那么NH=2x，

此时可以得到GN=8-2x，则DH=(16-4x)/3，

而DH=4+3x，所以建立等量关系得(16-4x)/3=4+3x，

则x=4/13，那么就可以得到BG=12/13，

进而得到NH=8/13，那么就可以得到点N的坐标为（57/13，-12/13）。

那么结论就出来了，只有3种情况符合题意。

【总结】

本题的难点在于点N的位置有多种情况，需要逐一进行排除，而且点N的位置不好确定。当然，这里面最重要的就是直角，通过直角，可以考虑勾股、三角形和相似等内容。

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