2022河北中考数学压轴题分析2：图形平移与旋转过程中扫过的面积问题

本题选自2022年河北中考数学压轴题，以特殊的三角形为背景，考查图形的平移与旋转。本题结合了速度进行考查，相比传统的问法，难度加大。具体请看下面的分析。

【题目】

（·河北），四边形中，，，，，，于点．将与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点与重合，点在上，其中，，．

（1）求证：；（2）从图1的位置出发，先沿着方向向右平移（图，当点到达点后立刻绕点逆时针旋转（图，当边旋转时停止．

图2

图3

①边从平移开始，到绕点旋转结束，求边扫过的面积；②如图2，点在上，且．若右移的速度为每秒1个单位长，绕点旋转的速度为每秒，求点在区域（含边界）内的时长；③如图3，在旋转过程中，设，分别交于点，，若，直接写出的长（用含的式子表示）．

【分析】

（1）证明全等，根据条件，可以利用AAS或者ASA来证明，难度不大。

（2）①本题要确定扫过的面积，那么就需要确定扫过的轨迹才行。

可以发现平移过程中PQ扫过的部分是平行四边形，旋转式，PQ扫过的就是一个扇形。那么面积只需分成两个部分来求即可。

易得，， 则， 扫过的面积。

②本题求点K在△PQM内的时间。

当PM经过点K时开始，直到△PQM的边PQ旋转经过点K时截止，求出相应的时间即可。

由于平移的速度为1个单位长度美妙，从PM经过点K到PQ开始旋转，△PQM一动的距离相当于KH的长度。KH=BH-BK=3-(9-4√3)=4√3-6，那么时间也为4√3-6。

当PQ开始旋转并经过点K时，旋转的角度为∠MPQ-∠KDH的大小，先求出CD=CK，那么∠CKD=∠CDK=75°，进而得到∠KDH=15°，那么就可以得到旋转的角度为30°-15°=15°了。由于速度是每秒5°，所以旋转的时间为3秒。那么总时间为4√3-6+3=4√3-3（秒）。

③本题要求的是BE与CF之间的关系，并不容易直接得到。在旋转的过程中，可以发现，不变的是∠MPQ的大小，以及DH的长。这里容易联想到勾股定理，以及相似。

已知BE的长，就可以表示出EH的长，进而得到PE的长。

根据上图，可以发现这里面有一组相似，易得PE的平方为EF与EC的乘积，那么就可以建立等量关系了。解法过程如下：

在中，，，则。因为，，所以，那么，，根据勾股定理可得，易得，，所以，则，所以可以得到，那么，变形可以得。

【总结】

本题题目较为复杂，有一定的难度，但仍然属于常规的题目。本题的关键在于分析图形运动变化的过程，再结合题目中特殊的图形进行求解。

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