2022深圳中考数学压轴题分析1:45°与辅助线构造

本题选自2022年深圳中考数学填空压轴题,以45°角为背景,考查几何求值问题,涉及与45°有关的辅助线构造,以及勾股、相似等知识。

【题目】

(2022深圳)已知△ABC是直角三角形,∠B=90°,AB=3,BC=5,AE=2√5,连接CE,以CE为底作直角三角形CDE,且CD=DE.F是AE边上的一点,连接BD和BF,且∠FBD=45°,则AF长为 .

中考数学压轴题


【答案】3√5/4。

【分析】本题的难点在于CD与BC不一定垂直,也就是说点E是一个动点,绕着点A不断旋转都可以。也说明了点E在什么位置都不影响结果,那么就可以考虑用特殊值法来求解。

什么意思呢,直接令CD与BC垂直,求出特殊值,毕竟这是一道填空题。

中考数学压轴题

先标记出数据,然后延长DE与AB交于点G,由于AE=2√5,那么就可以算出CD=DE=1,AG=2,BG=1,此时GE=4。

由于∠DBF为45°,所以考虑构造等腰指教三角形。

中考数学压轴题

过点F作FH⊥BD,然后过点H作BC的垂线,过点F作BC的平行线。

设HN=x,表示出其它的边长,可以发现AB=8x,那么就可以得到x=3/8。

那么AP=3/4,此时可以得到AF=3√5/4。

上面的图,也可以建立平面直角坐标系,然后用函数等知识进行求解。


上面纯粹用了特殊的点和特殊的位置,如果是解答题则必须有严格的过程。

那应该怎么下手呢?

还是从45°入手,依然是构造等腰直角三角形。

中考数学压轴题

如上图,过点D作DG⊥BD,交BF的延长线于点G。

中考数学压轴题

如上图,连接GE,可以得到△CBD≌△EGD(SAS),此时可以得到∠CBD=∠EGD,进而可以得到∠ABG=45°﹣∠CBD=∠EGF,

得到AB与GE平行,此时△ABF∽△EGF,那么就可以得到AF/EF=AB/GE=3/5。

那么就可以得到AF=3/8AE=3√4/4。

中考数学压轴题

当然,也可以将上面的△BCD放大并旋转至△GCE,使得△GCE∽△BCD,连接GB。

中考数学压轴题

此时,可以得到CG=√BC,得到△BCG为等腰直角三角形,∠CBG=90°,BG=BC=5。

此时点A、B、G三点共线,△ABF∽△AGE,AF/AE=AB/AG=3/8。

中考数学压轴题

如上图,将△DEF绕点D逆时针旋转90°至△DCG,连接AC、GC,BG与FG。

中考数学压轴题

因为∠DBF=∠DGF=45°,此时可以得到B、G、D、F四点共圆,那么就可以得到∠FBG=∠ABC=90°,

∠BGC=180°-∠BFD-∠DGC

=180°-∠BFD-∠DFE

=∠AFB。

所以可以得到△ABF∽△CBG。

中考数学压轴题

此时可以得到AF/EF=AF/CG=3/5。


如图,过点F作FG∥AB,过点E作EG∥BF,且FG与EG交于点G。EG与BD交于点M,连接CM并延长交BF于点N,过点F作FP⊥EG。

中考数学压轴题

易得△ABF∽△FGE。

因为EG∥BF,所以∠EMD=∠FBD=45°。

又因为∠EMD=∠ECD=45°,所以点C、D、E、M四点共圆,

则∠CME=90°。

中考数学压轴题

此时可以得到∠MNF=∠NFP=∠FPM=∠NMP=90°,

则四边形MNFP为矩形,得FP=MN=BN。

中考数学压轴题

此时可以根据AAS或者ASA证明△BNC≌△FPG,

得FG=BC=5,

那么就可以得到AF/FE=AB/FG=3/5。


【总结】

本题主要是根据45°这个特殊角进行构造辅助线,再得到相似,求出AF与FE的比值,进而求出AF的长。

2022深圳中考数学压轴题分析1:45°与辅助线构造

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