2022广州中考数学压轴题分析3：菱形中动点与几何最值问题

有兴趣讨论数学学习的同学可以考虑加入以下的QQ群！

2023中考数学学习讨论群：963392512

本题选自2022年广州中考数学压轴题，以菱形为背景，考查面积的最值与线段和的最值。题目较为综合，但难度不大。

【题目】

（2022广州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，连接BD．

（1）求BD的长；

（2）点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），点F在边AD上，且BE=√3DF．

①当CE⊥AB时，求四边形ABEF的面积；

②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+√3CF的值是否也最小？如果是，求CE+√3CF的最小值；如果不是，请说明理由．

【分析】

（1）菱形ABCD的一个内角为120°，那么就可以得到它的两个邻角都是60°，连接短的对角线，可以把菱形分割成两个等边三角形。

如下图所示，所有的线段都相等，所有的锐角都相等，所以比较特殊。

已知菱形的边长求对角线，比较简单。

根据勾股定理和三角函数等，可以得到BD=6√3。

本题中还有一个特殊的三角形，也就是顶角为120°的等腰三角形。

可以得到BD=√3AB=√AD，底边是腰的√3倍。常常构造这样的图形，得到√3倍。

（2）题目已知条件BE=√3DF，比较特殊。

先画出BE，如果过点E作AD的平行线，就可以得到一个含120°的等腰三角形，那么腰就和DF相等了。

那么只需要使得DF=BG即可。

①当CE⊥AB时，求四边形ABEF的面积，只需画出图形，在求出线段长即可。

发现四边形ABEF并不规则，不好直接求，可以考虑割补法。

通过观察发现，连接AE，可以得到EA⊥AF，那么就比较好求了。

那么可以得到四边形ABEF的面积为

S=S△AEF+S△ABE

=4√3+3√3

=7√3。

②题目问当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+√3CF的值是否也最小。

那么就需要确定四边形ABEF面积的最小值与，CE+√3CF的最小值。

因为四边形的形状不规则，因此需要进行适当的割补。

如图，设DF=x，过点E分别作AB、AD的垂线，垂足分别为M、N。

那么就可以把四边形ABEF分为两个三角形。

易得BE=√3x，DE=√3（6-x）。

则EM=√3x/2，EN=√3（6-x）/2。

且AF=（6-x），AB=6，那么四边形的面积就表示出来了。

四边形ABEF的面积

S=S△ABE+S△AFE

=3√3x/2+√3（6-x）/4

=√3/4(x-3)+27√3/4

则x=3，即F为AD的中点时，四边形ABEF的面积最小。

当F为AD的中点时，CF⊥AD，此时CF最小，

同时，可以得到点BE=3√3，

此时E为BD的中点，那么也可以得到CE⊥BD，

所以可以得到CE此时最小。

那么可以得到当四边形ABEF的面积最小时，CE+√3CF的值也最小，

最小值为3+√3×3√3=12。

如上面的动图演示，绿色的图象表示四边形的面积，红色的表示CE+√3CF的值。

当然，也可以直接通过作图构造CE+√3CF。如下图，连接CA并延长至点P，使得AP=AB，连接PE。

那么可以得到△CDF∽△PBE，此时相似比为1：√3，

那么就可以得到PE=√3CF。

当点C、E、P三点共线时，CE+√3CF最小，最小值为CP的长，也就是2AB的长，为12。

还可以适当变形下，CE+√3CF=√3(√3/CE/3+CF)，

所以也可以在CF的旁边构造√3/CE/3，

当√3/CE/3+CF最小时，CE+√3CF最小。

如图，过点D作DQ⊥CD，使得DQ=√3BC/3。

那么就可以得到△DFQ∽△BEC，相似比为1：√3。

那么就可以得到QF=√3BE/3。

也就是当QF+CF最小时，√3/CE/3+CF最小。

此时Q、F、C三点共线，也就是CQ的长，为4√3。

那么本题和之前出现的甘肃的题目有点类似。

【总结】

求面积最值，一般考虑把面积表示出来，用二次函数或者配方法求最值。

而求线段和的最值问题，一般考虑用几何方法，利用“垂线段最短”或者“两点之间，线段最短”进行判断。