2022兰州中考数学压轴题分析1：一次函数与新定义

本题内容选自2022年兰州中考数学倒数第2题，以一次函数为背景，考查新定义，题目新颖，内容较为简单。

【题目】

（2022兰州）在平面直角坐标系中，

是第一象限内一点，给出如下定义：和两个值中的最大值叫做点的“倾斜系数”．（1）求点的“倾斜系数”的值；（2）①若点的“倾斜系数”，请写出和的数量关系，并说明理由；②若点的“倾斜系数”，且，求的长；（3）如图，边长为的正方形沿直线运动，是正方形上任意一点，且点的“倾斜系数”，请直接写出的取值范围．

【分析】

（1）由于a=6，b=2，则a＞b，所以倾斜系数k=3。

（2）①∵点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，

那么a/b=2或b/a=2，

所以a＝2b或b＝2a。

②由于倾斜系数有两种情况，所以需要分类讨论。

当a＞b时，可以得到a=2b，因为a+b=3，

那么a=2，b=1，即P（2，1）。

此时OP=√5。

当a＜b时，同理得P（1，2）。

此时OP=√5。

（3）题目的要求是k＜√3。那可以找出k=√3这种临界情况。

连接OP，可以发现只写OP解析式y=kx中的k与倾斜系数有关。

我们可以确定临界值，当k=√3。

如果k=√3，那么就可以得到a/b=√3，或者b/a=√3。

此时可以画出函数y=√3x或者y=√3x/3，如上图虚线所示。

当倾斜系数k＜√3时，可以得到点P在这两条直线之间的位置。

由于正方形上的所有点都满足，所以正方形必须在两条线的内容部。

因为点P（a，b），

当点P与点B重合时，b=a-2，

因为倾斜系数k＜√3，所以a/(a-2)＜√3，

则a＞√3+3。

当点P与点D重合时，b=a+2，

因为倾斜系数k＜√3，所以(a+2)/a＜√3，

则a＞√3+1。

综上所述，可以得到a的取值范围为a＞√3＋3。

如上图所示，点D始终在y=x+2上运动，

点B始终在y=x-2上运动，

当他们位于绿色区域时，满足题意，所以a＞√3＋3，否则有部分点不能满足条件。

【总结】

本题实际考查的是直线的斜率问题，在新定义的包装之下，看起来比较难理解，实际上还是比较简单的。

抓住正比例函数y=kx中k的几何意义即可。