2022甘肃中考数学压轴题分析2：二次函数与几何最值问题

本题选自2022年甘肃中考数学压轴题，以二次函数为背景，考查轴对称的性质与几何最值的问题，难度中等，题目考查的方式也是近两年偶尔会出现的小趋势。

【题目】

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点在轴上，且，，分别是线段，上的动点（点，不与点，，重合）．

（1）求此抛物线的表达式；（2）连接并延长交抛物线于点，当轴，且时，求的长；

（3）连接．①如图2，将沿轴翻折得到，当点在抛物线上时，求点的坐标；

②如图3，连接，当时，求的最小值．

【分析】

（1）把点B的坐标代入即可得到a的值，抛物线的解析式为。

。

（2）本题也比较简单，根据AE的长，得出点E、D、P的坐标即可。

因为点A的坐标为（-3，0），所以可以的得到点E的坐标为（-2，0）。

在抛物线上，当x=-2时，y=-3/2。

在AC上，直接利用平行线分线段成比例得到结论：

DE/OC=AE/OA，那么可以得到DE=4/3。

所以DP=DE+PE=4/3+3/2=17/6。

（3）①将△BCD沿x轴翻折至下方的△BGF，使得点G在抛物线上，并求此时点G的坐标。

通过观察图形，可以发现点D与G关于x轴对称，也就是说点D与G的横坐标相等，纵坐标互为相反数。那么就可以建立等量关系求解了。

先求直线AC的解析式为y=4/3x+4，设点D的坐标为（m，4/3m+4），得到点G的坐标为（m，-4/3m-4），再代入二次函数的解析式即可：

1/4m-1/4m-3=-4/3m-4，

解得m1=-3（舍去），m2=-4/3。

那么点G的坐标就确定了，G（-4/3，-20/9）。

②本题的条件是CD=AE，要求的是CE+BD的最小值。

本题的特点就是两个线段没有公共点，所以需要进行适当的转化。由于点D和E分别为动点，那么如何转换到一起呢？

可以通过构造全等的方式进行转化。

如上图，过点C作CH∥AE，且使得CH=AC，

那么就可以得到△ACE≌△CHD（SAS），

那么CE就可以转化为HD了。

求BD+CE的最小值就可以转化为求BD+HD的最小值了。

观察可以发现当点H、D、B三点共线时，取最小值，此时最小值为BH的长。

那么只需要求出BH的长即可，通过过点H作AB的垂线，利用勾股定理可以得到BH=√（4+9）=√97。

当然，本题还可以有其它的构造方式，例如把BE转换到x轴的下方，但是构图没有作平行这么直接，所以上面的方法是最直接的。

或者像下面这样构造，本质上都是一样的。

本题与2022年遵义中考数学的填空压轴题类似。

【总结】

（3）①中使得点G落在抛物线上，只需使得点G的坐标代入抛物线的解析式能够成立即可。

（3）②是几何最值的问题，最终转化为将军饮马，或者直接利用两点之间线段最短进行求解即可。