初中数学竞赛辅导资料(5) a的正整数次幂的个位数
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2011/7/14
初中数学竞赛辅导资料(5)
an的个位数
甲内容提要
1. 整数a的正整数次幂an,它的个位数字与a的末位数的n次幂的个位数字相同。例如20023与23的个位数字都是8。
2. 0，1，5，6，的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身。例如57的个位数是5，620的个位数是6。
3. 2，3，7的正整数次幂的个位数字的规律见下表：
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指 数 | |||||||||||
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1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
…… | ||
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底 数 |
2 |
2 |
4 |
8 |
6 |
2 |
4 |
8 |
6 |
2 |
4 |
…… |
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3 |
3 |
9 |
7 |
1 |
3 |
9 |
7 |
1 |
3 |
9 |
…… | |
|
7 |
7 |
9 |
3 |
1 |
7 |
9 |
3 |
1 |
7 |
9 |
…… | |
其规律是：2的正整数次幂的个位数是按2、4、8、6四个数字循环出现，即24k+1与21，24K＋2与22，24K＋3与23，24K＋4与24的个位数是相同的（K是正整数）。 3和7也有类似的性质。
4. 4，8，9的正整数次幂的个位数，可仿照上述方法，也可以用4＝22，
8＝23，9＝32转化为以2、3为底的幂。
5. 综上所述，整数a的正整数次幂的个位数有如下的一般规律：
a4K＋m与am的个位数相同(k,m都是正整数。
乙例题
例1 20032003的个位数是多少？
解：20032003与32003的个位数是相同的，
∵2003＝4×500＋3，
∴32003与33的个位数是相同的，都是7，
∴2003的个位数是7。
例2 试说明632000＋1472002的和能被10整除的理由
解：∵2000＝4×500，2002＝4×500＋2
∴632000与34的个位数相同都是1，1472002与72的个位数相同都是9，
∴632000＋1472002的和个位数是0，
∴632000＋1472002的和能被10整除。
例3 K取什么正整数值时，3k＋2k是5的倍数？
例4 解：列表观察个位数的规律
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K＝ |
1 |
2 |
3 |
4 |
…… |
|
3的个位数 |
3 |
9 |
7 |
1 |
…… |
|
2的个位数 |
2 |
4 |
8 |
6 |
…… |
|
3k＋2k的个位数 |
5 |
|
5 |
|
…… |
从表中可知，当K＝1，3时，3k＋2k的个位数是5，
∵am与a4n+m 的个位数相同（m,n都是正整数，a是整数）
;∴当K为任何奇数时，3k＋2k是5的倍数。
丙练习5
1， 在括号里填写各幂的个位数（K是正整数）
220 的个位数是 （ ） 45 的个位数是（ ）
330 的个位数是 （ ） 87 的个位数是（ ）
74K+1 的个位数是 （ ）
311＋79 的个位数是（ ） 216×314的个位数是（ ）
32k-1＋72k-1的个位数是（ ）
72k－32k 的个位数是（ ） 74k-1－64k-3的个位数是（ ）
7710×3315×2220×5525的个位数是（ ）
2， 目前知道的最大素数是2216091－1，它的个位数是＿＿＿。
3， 说明如下两个数都能被10整除的理由。
① 5353－3333 ② 19871989－19931991
4， 正整数m取什么值时，
5， 设n是正整数，试说明2 n ＋7n+2能被5整除的理由。
6， 若a4的个位数是5，那么整数a的个位数是＿＿＿
若a4的个位数是1，那么整数a的个位数是＿＿＿
若a4的个位数是6，那么整数a的个位数是＿＿＿
若a2k-1的个位数是7，那么整数a的个位数是＿＿＿
7, 12+22+32+……+92的个位数是＿＿，
12+22+32+……+192的个位数是＿＿，
12+22+32+……+292的个位数是＿＿。
8. a,b,c是三个连续正整数，a2=14884,c2=15376,那么b2是（ ）
（A）15116，（B）15129，（C）15144，（D）15321
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参考答案见下页
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