2015合肥二模数学理科试题答案及评分标准

高三数学(理)试题答案 第1页(共6页)
合肥市2015年高三第二次教学质量检测
数学试题(理)参考答案及评分标准
一、选择题:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B C C D B D A B
二、填空题:
11.
12.
13. .
14.-
3
3
.
15.②③⑤.
三、解答题:
16.解(Ⅰ)由题意知: ,
∴ ,即
∴ ,即 ,
又 ,∴ . ………6分
(Ⅱ)高三数学(理)试题答案 第2页(共6页)
∵
0<B<
π
2
0<C<
π
2
B+C=
2π
3
ì
î
í ,∴
∴ ,即 的取值范围是 . ………12分
17.(Ⅰ) . ………6分
(Ⅱ)
随机变量 的分布列为
10000 5000 2500 1250 625
P
所以 期望 .
………12分高三数学(理)试题答案 第3页(共6页)
18.解(Ⅰ)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,CD⊥平面BCC1B1
∴CD⊥BE, ………3分
又∵E 为线段CC1的中点,由已知易得 ∽
∴ ,
∴ ,
故BE⊥B1C,
且
∴BE⊥平面B1CD,
又 平面
∴平面 平面B1CD. ………6分
(Ⅱ)以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,设AB=
则A1 、B 、E
∴ 、
设平面 A1BE 的法向量为
则 ,∴ 不妨令y=1
∴ ,又底面A1B1C1D1的法向量为
∴
又 ,∴ ,∴高三数学(理)试题答案 第4页(共6页)
∴ ,∴ . ………12分
19.解(Ⅰ)由
得 ,又a≠0,故 ,
当 时, 在 上为增函数,在 上为减函数,
∴ ,即
∴0<a≤2
当a<0时,不合题意
故 的取值范围为 . ………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,当 时
即
则 ,得
∴ 在 上为增函数,在 上为减函数,
∴ .………13分
20.解(Ⅰ) . ………6分
(Ⅱ)由题意知,当k1=0时,M 点的纵坐标为0,直线 MN 与y轴垂直,则 N 点的纵坐标为0,
故k2=k1=0,这与k2≠k1 矛盾.
当k1≠0时,直线PM:y=k1(x+2),
由
y=k1(x+2)
x2
4
+y
2=1
ì
î
í ,得(
1
k2
1
+4)y
2-
4
k2
1
y=0,∴yM =
4k1
1+4k2
1高三数学(理)试题答案 第5页(共6页)
∴M(
2-8k2
1
1+4k2
1
,
4k1
1+4k2
1
),同理 N(
2-8k2
2
1+4k2
2
,
4k2
1+4k2
2)
由直线 MN 与y 轴垂直,则
4k1
1+4k2
1
=
4k2
1+4k2
2
∴4k1k2
2-4k2k2
1+k1-k2=0⇒(k2-k1)(4k1k2-1)=0
∵k1≠k2,∴4k1·k2=1
即k1·k2=
1
4
………13分
21.解(Ⅰ) ,设切点 ,
∴切线方程为: ,
令 ,得 ,令 ,得 ,
∴ ,即 . ………6分
(Ⅱ)证明:(1)先证T2
n<
T1
2
+
T2
3
+…+
Tn-1
n
+
1
2
∵T2
n=(Tn-1+
1
2n
)2⇒T2
n-T2
n-1=
Tn-1
n
+
1
4n2(n∈N∗ ,n≥2)
∴T2
n-T2
n-1=
Tn-1
n
+
1
4n2<
Tn-1
n
+
1
4n(n-1)
,(n∈N∗ ,n≥2)
∴T2
n-T2
1<
T1
2
+
T2
3
+…+
Tn-1
n
+
1
4
(
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
n(n-1)
)
∴T2
n<
T1
2
+
T2
3
+…+
Tn-1
n
+
1
4
(1-
1
n
)+
1
4
=
T1
2
+
T2
3
+…+
Tn-1
n
+
1
2
-
1
4n
∴T2
n<
T1
2
+
T2
3
+…+
Tn-1
n
+
1
2
………9分
(2)再证
T2
2
+
T3
3
+…+
Tn
n
<T2
n高三数学(理)试题答案 第6页(共6页)
因为n≥2,由Tn=Tn-1+
1
2n
,得到
∵T2
n-T2
n-1=
Tn-1
n
+
1
4n2,且
Tn
n
=
Tn-1
n
+
1
2n2,
∴
Tn
n
=
Tn-1
n
+
1
2n2=T2
n-T2
n-1-
1
4n2+
1
2n2=T2
n-T2
n-1+
1
4n2,
∴
T2
2
+
T3
3
+…+
Tn
n
=T2
n-T2
1+
1
4
1
22+
1
32+…+
1
n2
æ
è
ö
ø
=T2
n+
1
4
-1+
1
22+
1
32+…+
1
n2
æ
è
ö
ø
由(1)证明可知
1
22+
1
32+…+
1
n2
æ
è
ö
ø
<1-
1
n
<1,
∴当n∈N∗ 且n≥2时,
T2
2
+
T3
3
+…+
Tn
n
<T2
n+
1
4
(-1+1)=T2
n
综合(1)(2)得,当n∈N∗ 且n≥2时,
有
T2
2
+
T3
3
+…+
Tn
n
<T2
n<
T1
2
+
T2
3
+…+
Tn-1
n
+
1
2
………13分