三角形的角平分线交于一点这个点叫什么 这个点的性质是什么

三角形的角平分线交于一点这个点叫内心。三角形的三条内角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。这个点也是这个三角形内切圆的圆心。三角形内心到三角形三条边的距离相等。相对应的有三角形的外心，三角形外接圆的圆心就叫做三角形的外心。三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的三个顶点就在这个外接圆上。

三角形的角平分线交于一点这个点叫内心。三角形的三条内角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。这个点也是这个三角形内切圆的圆心。三角形内心到三角形三条边的距离相等。相对应的有三角形的外心，三角形外接圆的圆心就叫做三角形的外心。三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的三个顶点就在这个外接圆上。

1.三角形的三条内角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。

2.直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

3.内心到三角形三边距离相等，都等于内切圆半径r。

4.O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC。

5.欧拉定理：三角形中，若R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI=R-2Rr。

首先证明这个结论：O是ABC内心的充要条件是：aOA+bOB+cOC=0（均表示向量）。

证明:OB=OA+AB，OC=OA+AC，代入aOA+bOB+cOC=0中得到：

AO=(bAB+cAC)/(a+b+c)。

而|AC|=b，|AB|=c。

所以AO=bc/(a+b+c)*(AB/|AB|+AC/|AC|)。

而由平行四边形法则值(AB/|AB|+AC/|AC|)与BAC交角平分线共线。

所以AO经过内心。

同理BO，CO也经过内心，所以O为内心。

反之亦然。

知道这个结论后。

设ABC的坐标为：A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)BC=a，CA=b，AB=c。

内心为O(x，y)则有aOA+bOB+cOC=0（三个向量）。

MA=(x1-x，y1-y)。

MB=(x2-x，y2-y)。

MC=(x3-x，y3-y)。

则：a(x1-x)+b(x2-x)+c(x3-x)=0，a(y1-y)+b(y2-y)+c(y3-y)=0。

∴x=(ax1+bx2+cx3)/(a+b+c)，Y=(ay1+by2+cy3)/(a+b+c)。

∴O((ax1+bx2+cx3)/(a+b+c)，(ay1+by2+cy3)/(a+b+c))。