数学高二函数的奇偶性知识点

函数奇偶性是数学学科知识之一，同学们在考试过程中也会常常碰到相关的题目，下面是本站小编给大家带来的数学高二函数的奇偶性知识点，希望对你有帮助。

函数的奇偶性基础定义

一般地，对于函数f(x)

⑴如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x)或f(x)/f(-x)=1那么函数f(x)就叫做偶函数。关于y轴对称，f(-x)=f(x)。

⑵如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)或f(x)/f(-x)=-1，那么函数f(x)就叫做奇函数。关于原点对称，-f(x)=f(-x)。

⑶如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x)和f(-x)=-f(x)，(x∈R，且R关于原点对称。)那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

⑷如果对于函数定义域内的存在一个a，使得f(a)≠f(-a)，存在一个b，使得f(-b)≠-f(b)，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

定义域互为相反数，定义域必须关于原点对称

特殊的，f(x)=0既是奇函数，又是偶函数。

说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言。

②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性。

(分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论)

③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。

④如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。并且关于原点对称。

⑤如果函数定义域不关于原点对称或不符合奇函数、偶函数的条件则叫做非奇非偶函数。例如f(x)=x【-∞，-2】或【0，+∞】(定义域不关于原点对称)

⑥如果函数既符合奇函数又符合偶函数，则叫做既奇又偶函数。例如f(x)=0

注：任意常函数(定义域关于原点对称)均为偶函数，只有f(x)=0是既奇又偶函数

函数的奇偶性证明方法

⑴定义法：函数定义域是否关于原点对称，对应法则是否相同

⑵图像法：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称点(x,y)→(-x,-y)f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y轴对称点(x,y)→(-x,y)

⑶特值法：根据函数奇偶性定义，在定义域内取特殊值自变量，计算后根据因变量的关系判断函数奇偶性。

⑷性质法：利用一些已知函数的奇偶性及以下准则(前提条件为两个函数的定义域交集不为空集)：两个奇函数的代数和(差)是奇函数;两个偶函数的和(差)是偶函数;奇函数与偶函数的和(差)既非奇函数也非偶函数;两个奇函数的积(商)为偶函数;两个偶函数的积(商)为偶函数;奇函数与偶函数的积(商)是奇函数。

函数的奇偶性相关性质

1、大部分偶函数没有反函数(因为大部分偶函数在整个定义域内非单调函数)，一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致。

2、偶函数在定义域内关于y轴对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。

3、奇±奇=奇偶±偶=偶奇X奇=偶偶X偶=偶奇X偶=奇(两函数定义域要关于原点对称)。

4、对于F(x)=f[g(x)]：若g(x)是偶函数且f(x)是偶函数，则F[x]是偶函数。

若g(x)奇函数且f(x)是奇函数，则F(x)是奇函数。

若g(x)奇函数且f(x)是偶函数，则F(x)是偶函数。

5、奇函数与偶函数的定义域必须关于原点对称。