关于大学高数论文范文免费

高数是大学数学专业的重要组成部分，并且在重要的考试中所占的比重也是非常大。下面是本站小编为大家整理的关于大学高数论文，供大家参考。

多元函数微分学是高等数学中的一个重点，它涉及的内容是微积分学内容在多元函数中的体现，其中有关多元函数的连续性，偏导存在及可微性之间的关系是学生在学习中容易发生概念模糊和难以把握的一个重要知识点。

当前，多元函数的连续性，偏导存在及可微性之间的关系研究方面已经取得了一定的成果，但是，在一些学术性论文中只是对二元函数的连续性、偏导存在及可微性的个别关系做了具体的说明，因此，想要达到对这方面知识能做到全面的掌握对学生来说仍是一大难题。 本文通过具体实例对多元微分学中的几个重要概念间进行分析讨论，主要研究二元函数的连续性，偏导存在性，可微性等概念及它们之间因果关系. 然后推广到多元函数，由此来总结有关多元函数的连续性、偏导存在及可微性之间的关系，并对二元函数具体的实例详细加以证明，建立它们之间的关系图，这样对有效理解和掌握多远函数微分学知识将起到重要作用。

一、函数连续

一个一元函数若在某点存在左导数和右导数，则这个一元函数必在这点连续.但对于二

p(x,y)f(x,y)元函数f(x,y)来说，即使它在某点000既存在关于x的偏导数x00，又存在

关于y的偏导数

域fy(x0,y0)，f(x,y)也未必在p0(x0,y0)连续。甚至，在p0(x0,y0)的某邻U(p0)存在偏导数fx(x,y)(或fy(x,y))f(x,y)(或fy(x,y))在点，而且x

p0(x0,y0)连续，也不能保证f(x,y)在p0(x0,y0)连续.如函数

21y0sinx,y

0,y0f(x,y)

关于具体验算步骤不难得出。过，我们却有如下的定理。

定理1 [1]设函数f(x,y)在点p0(x0,y0)的某邻域U(p0)内有定义，若f(x0,y)作为y的一元函数在点y=y0连续，fx(x,y)在U(p0)内有界，则f(x,y)在点p0(x0,y0)连续。

p(x,y)U(p0)有定义，fy(x,y)在U(p0)定理2 [4]设函数f(x,y)在点000的某邻域内有界，

f(x,y0)作为x的一元函数在点xx0连续，则f(x,y)在点p0(x0,y0)连续。

定理1和定理2可推广到更多元的情形中去。

000

f(x,x,,x)p(x,x,,x12n在点012n)的某邻域U(p0)内有定义， 定理 3[5] 设函数

fxi(x1,x2,xn)

U(p0)有界(i1,2,n),f(x1,xi1,xi,xi1,xn)作为

在

00

x1,xi1,xi1,xn的n-1元函数在点(x1,xi01,xi01,xn)连续，则 f(x1,x2,,xn)在 000

p(x,x,,xn)连续。 点012

二、多元函数的偏导数

我们知道高等数学及数学分析教材中有：偏导数

//

fxy

////fxy(x0,y0)fyx(x0,y0)

此式成立的条件为：

和

//

fyx

在

(x0,y0)都连续。

下面给出一个更若条件下二元混合偏导数求导次序无关的条件。

//////

fffp(x,y)ff(x,y)yyxyx

定理4 [6]若函数在000的某邻域内偏导数x，及存在，且//////

fxyfxy(x0,y0)fyx(x0,y0)pp00在对y连续，则偏导数在存在，且

三、多元函数的可微性

考察函数的可微性时，如果知道偏导数连续，则函数一定可微.但是偏导数连续性条件常常不满足，或不易判断。知函数在点

p0可微的必要条件是各个偏导数在p0处存在.如果

p函数zf(x,y)在0处的全增量可表示为：

z=A

则常数A与B一定为A=

x+B

y+()

fx(p0) B=fy(P0) 且函数在P0处可微。[7]

lim

Z

0p定理5[2] 设n元函数zf(p)在0的某个邻域内有定义，且极限存在，记

为

p(1) 若0，则函数zf(p)在0处不可微;

dzp

0p0

(2) 若=0，则函数在0处可微且，其中。

我们以二元函数为例证明。

定理6[3] 若n+1元函数可微(即把

f(x1,xn,y)关于y的偏导数对n+1个变量连续，x,xn

关于1

f(x1,xn,y)

可微。

f(x1,xn,y)

中的y看成常数后可微)，则n+1元函数

推论 若n(n≥2)元函数

f(x1,xn,)的偏导数存在，且至多有一个偏导不连续，则

f(x1,xn,)可微。

1、

若函数在点P可微该函数在点P连续;若函数在点P可微该函数在P点处存在偏导数;若函数在点P可微该函数在点P处的一切方向导数都存在。

2、 3、

若函数在P点处连续函数在点P处存在偏导数。

若函数在P点处偏导数存在该函数在点P处的一切方向导数存在(仅有

/

fx这种关系：函数在点P处偏导数存在该函数在P处沿X轴方向的导数存

在)，函数在P处的一切方向导数存在该函数在P处偏导存在。

4、 5、

函数在P处的一切方向导数都存在该函数在P处连续。 函数在P处的一切方向导数都存在该函数在点P处可微。[11]

多元函数在点P可微，那么函数在P点的偏导数必存在。即偏导数存在时可微的必要但不充分条件。而多元函数偏导数在点P连续是函数在该点可微分的充分条件，但不是必要条件。但是，多元函数在一点连续在该点其偏导数不一定存在，也不一定可微;多元函数在一点偏导数存在而在该点不一定连续;多元函数在一点可微在该点也不一定连续。[12] 若n+1元函数

f(x1,xn,y)

关于y的偏导数对n+1个变量连续，关于

x1,xi1,xi1,xn可微(即把f(x1,xn,y)中的y看成常数后可微)，则n+1元函数

f(x1,xn,y)

可微。[13]