射影定理怎么巧妙记 什么是射影定理
中考数学
2022/11/18
射影定理巧妙记的方法：巧记射影定理的方法是从“形”的角度记忆，BD和BC都可以看成是AB的影子，只不过一个光线从AD投过，另一个光线从AC投过，射影定理，又称“欧几里德定理”。巧记射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
射影定理怎么巧妙记巧记射影定理的方法是从“形”的角度记忆，BD和BC都可以看成是AB的影子，只不过一个光线从AD投过，另一个光线从AC投过，射影定理，又称“欧几里德定理”。
巧记射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
射影定理是什么意思关于三角形的任意一边等于其他两边在这边上射影的和的定理。即a=bcosc+ccosb，b=acosc+ccosa，c=acosb+bcosa。
射影的解释：从一点向一条直线或一个平面作垂线，垂足就是这个点的射影。一条线段上的各点的射影的连线就是这条线段的射影：古书上指；蜮；，因为据说；蜮；这种动物能含沙喷射人影使人致病。；射影；也是；蜮；的别名详细
射影定理的应用Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：
（1）（BD）^2；=AD·DC，
（2）（AB）^2；=AD·AC，
（3）（BC）^2；=CD·AC.
等积式
（4）ABXBC=BDXAC
证明：在△BAD与△BCD中，∠A+∠C=90°，∠DBC+∠C=90°，∴∠A=∠DBC，又∵∠BDA=∠BDC=90°，∴△BAD∽△CBD相似，∴AD/BD＝BD/CD，即（BD）=AD·DC.其余类似可证.(也可以用勾股定理证明)
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理.由公式（2）+（3）得：
（AB）^2；+（BC）^2；=AD·AC+CD·AC=（AD+CD)·AC=（AC）^2；，
即（AB）^2；+（BC）^2；=（AC）^2；.
这就是勾股定理的结论.[编辑本段]任意三角形射影定理任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：
设⊿ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有
a＝b·cosC＋c·cosB，
b＝c·cosA＋a·cosC，
c＝a·cosB＋b·cosA.
注：以“a＝b·cosC＋c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理.
证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且
BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC＋c·cosB.同理可证其余.
证明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA
=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB＋b·cosA.同理可证其它的。
