卡方分布的自由度

卡方分布的自由度为n-k。卡方分布的自由度取决于总体参数的个数，一般来说，自由度等于总体参数的个数减去一。例如，如果总体有三个参数，那么卡方分布的自由度就是2。

一个式子中独立变量的个数称为这个式子的“自由度”，确定一个式子自由度的方法是：若式子包含有n个独立的随机变量，和由它们所构成的k个样本统计量，则这个表达式的自由度为n-k。比如中包含ξ1，ξ2，…，ξn这n个独立的随机变量，同时还有它们的平均数ξ这一统计量，因此自由度为n-1。

证明：设k1ξ1+k2ξ2+…+knξn=0.这是一个含有n个相对独立变量的式子。则其中任意一个ξi=-1/ki[k1ξ1+k2ξ2+…+k(i-1)ξ(i-1)+k(i+1)ξ(i+1)+…+knξn]，（1≤i≤n）。显然ξi由另外n-1个变量决定，所以自由度为n-1。

卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布，对于任意正整数x， 卡方分布是一个随机变量X的机率分布。

卡方分布（英语：chi-square distribution[2],χ-distribution，或写作χ分布）是概率论与统计学中常用的一种概率分布。k个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k的卡方分布。

卡方分布是一种特殊的伽玛分布，是统计推断中应用最为广泛的概率分布之一，例如假设检验和置信区间的计算。

卡方分布在共同使用卡方检验用于拟合优度的观测分布为理论之一，独立的分类的两个标准定性数据，并在用于人口区间估计标准偏差a的来自样本标准差的正态分布。许多其他统计检验也使用这种分布，例如Friedman 的按秩方差分析。

由卡方分布延伸出来皮尔逊卡方检验常用于：

1、样本某性质的比例分布与总体理论分布的拟合优度（例如某行政机关男女比是否符合该机关所在城镇的男女比）；

2、同一总体的两个随机变量是否独立（例如人的身高与交通违规的关联性）；

3、二或多个总体同一属性的同素性检验（意大利面店和寿司店的营业额有没有差距）。（详见皮尔逊卡方检验）