狄利克雷函数为什么是周期函数 如何证明
高中数学知识点
2022/2/15
取T为任意一个确定的有理数，则当x是有理数时f(x)=1，且x+T是有理数，故f(x+T)=1，即f(x)=f(x+T)；当x是无理数时，f(x)=0，且x+T是无理数，故有f(x+T)=0，即f(x)=f(x+T)。综上，狄利克雷函数是周期函数。
狄利克雷函数和周期函数的定义狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。
对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。
狄利克雷函数额基本性质1、定义域为整个实数域R。
2、值域为{0,1}。
3、函数为偶函数。
4、无法画出函数图像，但是它的函数图像客观存在。
5、以任意正有理数为其周期，无最小正周期（由实数的连续统理论可知其无最小正周期）。
