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正定矩阵一定是实对称矩阵吗

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2022/1/26

不一定是对称的。正定矩阵在实数域上是对称矩阵。在复数域上是厄米特矩阵(共轭对称)。 因为正定矩阵在定义的时候就是要在厄米特矩阵的域内(实数域上是对称矩阵)。

正定矩阵定义

（1）广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT表示z的转置，就称M为正定矩阵。

例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）

（2）狭义定义：一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz> 0。其中zT表示z的转置。

矩阵正定性的性质

1、正定矩阵的特征值都是正数。

2、正定矩阵的主元也都是正数。

3、正定矩阵的所有子行列式都是正数。

4、正定矩阵将方阵特征值，主元，行列式融为一体。

正定矩阵的特征方法

1、 对称矩阵A正定的充分必要条件是A的n个特征值全是正数。

2、对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。

3、对称矩阵A正定(半正定)的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵U使A=U^TU

4、对称矩阵A正定，则A的主对角线元素均为正数。

5、对称矩阵A正定的充分必要条件是:A的n个顺序主子式全大于零。

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