幂等矩阵的特征值
高校大全
2022/1/17
0或者1。幂等矩阵的特征值只可能是0，1。若A为方阵，且A=A，则A称为幂等矩阵。例如，某行全为1而其他行全为0的方阵是幂等矩阵。实际上，由Jordan标准型易知，所有幂等矩阵都相似于对角元全为0或1的对角阵。
幂等矩阵的主要性质：
幂等矩阵的特征值只可能是0，1；
幂等矩阵可对角化；
幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩，即tr(A)=rank(A)；
可逆的幂等矩阵为E；
方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵；
幂等矩阵A满足：A(E-A)=(E-A)A=0；
幂等矩阵A：Ax=x的充要条件是x∈R(A)；
A的核N(A)等于(E-A)的列空间R(E-A),且N(E-A)=R(A)。考虑幂等矩阵运算后仍为幂等矩阵的要求，可以给出幂等矩阵的运算：
设A，A都是幂等矩阵，则(A+A)为幂等矩阵的充分必要条件为：A·A=A·A=0，且有：R(A+A)=R(A)⊕R(A)；N(A+A)=N(A)∩N(A)；
设A，A都是幂等矩阵，则(A-A)为幂等矩阵的充分必要条件为：A·A=A·A=A，且有：R(A-A)=R(A)∩N(A)；N(A-A)=N(A)⊕R(A)；
设A，A都是幂等矩阵，若A·A=A·A，则A·A为幂等矩阵，且有：R(A·A)=R(A)∩R(A)；N(A·A)=N(A)+N(A)。
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